2.8. Ең үлкен ортақ бөлгіш. Өзара жай сандар

Ортақ бөлгіш — берілген сандардың әрқайсысының бөлгіші болатын сан. Мысалы, $4$ саны $12$ мен $20$-ның ортақ бөлгіші. $1$ саны кез келген сандардың ортақ бөлгіші.

Ең үлкен ортақ бөлгіш (ЕҮОБ) — берілген сандардың әрқайсысы қалдықсыз бөлінетін ең үлкен натурал сан. Жазылуы: ЕҮОБ$(a, b)$.

ЕҮОБ табудың екі тәсілі:

1. Бөлгіштерді іріктеу. Әр санның барлық бөлгіштерін жазамыз, ортақтарын белгілеп, ең үлкенін аламыз. Кіші сандарға ыңғайлы.

2. Жай көбейткіштерге жіктеу. Сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз, барлық жіктеуде кездесетін ортақ жай көбейткіштерді ең кіші дәрежесімен алып, көбейтеміз.

3. Егер ең кіші сан қалған сандардың әрқайсысының бөлгіші болса, ЕҮОБ осы ең кіші санға тең: ЕҮОБ$(15, 45, 60) = 15$.

Өзара жай сандар — ортақ бөлгіші тек $1$ болатын сандар, яғни ЕҮОБ-і $1$-ге тең сандар. Мысалы, $8$ пен $15$ өзара жай: екеуі де құрама сан, бірақ ортақ жай көбейткіші жоқ. Кез келген көршілес екі натурал сан өзара жай.

Мысал 1: ЕҮОБ$(24, 40)$. Б$(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$, Б. Ортақтары: . ЕҮОБ.

Суретте сол жақ дөңгелекте — $24$-тің, оң жақтағыда — $40$-тың бөлгіштері; ортақ бөлікте — ортақ бөлгіштер $1, 2, 4, 8$.

Мысал 2: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$, $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Ортақ көбейткіштер: , , . ЕҮОБ.

Суретте $120$ мен $180$-нің жай көбейткіштері; ортақ бөліктегі $2, 2, 3, 5$ сандарының көбейтіндісі — ЕҮОБ$(120, 180) = 60$.

Мысал 3: $36$ алма мен $54$ алмұртты балаларға бөлгенде әр балаға алма саны бірдей, алмұрт саны бірдей тиюі керек. Ең көп дегенде неше балаға жетеді? Балалар саны $36$-ның да, $54$-тің де бөлгіші, ал ең көбі — ЕҮОБ$(36, 54) = 18$.

Жиі қате: ортақ көбейткіштерді ең үлкен дәрежесімен алу немесе ортақ емес көбейткіштерді де көбейтіп жіберу. ЕҮОБ ешқашан берілген сандардың ең кішісінен үлкен болмайды.