Турнир Esepter №3 · 6 класс · Олимпиадный

Идея: В оба отношения входит $b$. Если сделать число частей для $b$ в обоих отношениях одинаковым, то $a$, $b$, $c$ можно измерять одними и теми же «частями».
Шаг 1. В первом отношении $b$ соответствует , во втором — . Умножим оба члена первого отношения на , а второго — на (если оба члена отношения умножить на одно число, отношение не изменится): , . Шаг 2. Теперь в обоих отношениях — это , поэтому . Шаг 3. Всего часть, и это . Одна часть: . Шаг 4. — это частей: . Проверка: , , ; . 196

Идея: Изменение цены на процент — это умножение на некоторое число. Чтобы по конечной цене найти начальную, выполняем обратное действие — деление.
Шаг 1. Пусть начальная цена $X$. После подорожания на $30\%$ новая цена составляет $100\% + 30\% = 130\%$ от начальной, то есть $X$ умножается на $1{,}3$.
Шаг 2. При снижении новой цены на $25\%$ от неё остаётся $100\% - 25\% = 75\%$, то есть она умножается на $0{,}75$: $X \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}75 = X \cdot 0{,}975$.
Шаг 3. Это равно $9750$ тенге: $X \cdot 0{,}975 = 9750$, поэтому $X = 9750 : 0{,}975 = 10000$.
Проверка: $10000 \cdot 1{,}3 = 13000$, $13000 \cdot 0{,}75 = 9750$.
Ответ: 10000

Идея: При добавлении воды масса соли не меняется, растёт только масса всего раствора. Поэтому сначала находим соль.
Шаг 1. $18\%$ — это $0{,}18$ часть. Масса соли: $300 \cdot 0{,}18 = 54$ г.
Шаг 2. После добавления воды соли по-прежнему $54$ г, но теперь это $12\%$, то есть $0{,}12$ нового раствора.
Шаг 3. Масса нового раствора (находим целое по его части): $54 : 0{,}12 = 450$ г.
Шаг 4. Добавленная вода — разность новой и начальной масс: $450 - 300 = 150$ г.
Проверка: $54 : 450 = 0{,}12$, то есть $12\%$.
Ответ: 150

Идея: Сначала выполняются умножение и деление, потом сложение и вычитание. Правило знаков: произведение и частное двух чисел одного знака положительны, разных знаков — отрицательны.
Шаг 1. $(-5) \cdot 3 = -15$ — знаки разные, результат отрицательный.
Шаг 2. $(-36) : (-6) = 6$ — оба отрицательные, результат положительный. Перед этим частным стоит минус, значит, вычитается. Шаг 3. — оба отрицательные, результат положительный. Шаг 4. Теперь считаем слева направо: .

Идея: Модуль — это расстояние от нуля. $|y| < 9$ означает, что $y$ находится от нуля на расстоянии меньше $9$, то есть лежит между $-9$ и $9$.
Шаг 1. Поэтому $-9 < 2x - 11 < 9$.
Шаг 2. Прибавим $11$ ко всем трём частям: $2 < 2x < 20$.
Шаг 3. Разделим все части на 2: $1 < x < 10$.
Шаг 4. Целые числа в этом промежутке: $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ ($1$ и $10$ не входят, потому что знак «<» строгий).
Шаг 5. Их сумма: $2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44$.
Проверка: $x = 2$: $|2 \cdot 2 - 11| = 7 < 9$ — решение; $x = 1$: $|2 \cdot 1 - 11| = 9$, это не меньше $9$ — не решение.
Ответ: 44

Идея: Раскрываем скобки, члены с $x$ собираем слева, числа — справа. При переносе в другую часть равенства член меняет знак на противоположный.
Шаг 1. Раскрываем скобки: $8(x - 3) = 8x - 24$, а $-2(x + 6) = -2x - 12$ (минус перед скобкой меняет «+» внутри на «−»). Уравнение: $8x - 24 - 2x - 12 = -18$.
Шаг 2. Приводим подобные: $8x - 2x = 6x$. Переносим числа вправо (их знаки становятся «+»): $6x = -18 + 24 + 12$.
Шаг 3. Считаем правую часть: $-18 + 24 + 12 = 18$. $6x = 18$, делим обе части на $6$: $x = 18 : 6 = 3$.
Проверка: $8 \cdot (3 - 3) - 2 \cdot (3 + 6) = 8 \cdot 0 - 2 \cdot 9 = 0 - 18 = -18$.
Ответ: 3

Идея: Разность $\dfrac{1}{5}$ и $\dfrac{1}{7}$ части числа — это часть этого числа. Она равна , а чтобы найти число по его части, делим. Шаг 1. Обозначим искомое число через . По условию: . Шаг 2. Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем: . Значит, часть числа равна . Шаг 3. Находим число: . Проверка: . 280

Идея: Сначала по площади находим радиус, затем по радиусу — длину окружности.
Шаг 1. Площадь круга: $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, $r$ — радиус. Поэтому $3{,}14 \cdot r^2 = 200{,}96$, . Шаг 2. Число, квадрат которого равен , — это , потому что . Значит, см. Шаг 3. Длина окружности: , где — длина окружности. см. Проверка: — площадь совпадает.

Идея: Масштаб относится к длинам. Площадь — произведение двух длин (длины и ширины), поэтому сначала узнаем, сколько гектаров соответствует $1$ см² на карте.
Шаг 1. Масштаб $1 : 10000$ означает: $1$ см на карте — это $10\,000$ см на местности. $10\,000$ см м, потому что м см. Шаг 2. см² на карте — квадрат со стороной см. На местности это квадрат со стороной м, его площадь м². Шаг 3. га м², поэтому . То есть см² на карте соответствует га на местности. Шаг 4. Площадь на карте см², поэтому реальная площадь: га. 9

Идея: По координатам видно, что две стороны треугольника параллельны осям координат. Значит, треугольник прямоугольный, а площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов (сторон, образующих прямой угол).
Шаг 1. У точек $A$ и $B$ одинаковая вторая координата (ордината) — $-6$. Значит, отрезок $AB$ параллелен оси $Ox$, его длина — разность первых координат: см. Шаг 2. У точек и одинаковая первая координата (абсцисса) — . Значит, отрезок параллелен оси : см. Шаг 3. Оси и перпендикулярны, поэтому угол прямой, а и — катеты. Шаг 4. Площадь: см². Проверка: треугольник — половина прямоугольника со сторонами и : . 12

Идея: Весь бассейн примем за $1$ и найдём, какую часть делает каждая труба за $1$ час. Части наполняющих труб складываем, часть опустошающей — вычитаем.
Шаг 1. За $1$ час первая труба наполняет $\dfrac{1}{9}$ бассейна, вторая — $\dfrac{1}{18}$, а третья опустошает $\dfrac{1}{12}$.
Шаг 2. Все три вместе за $1$ час: $\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{12}$. Общий знаменатель — $\text{НОК}(9, 18, 12) = 36$ (НОК — наименьшее общее кратное): $\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{36} + \dfrac{2}{36} - \dfrac{3}{36} = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$.
Шаг 3. За $1$ час наполняется $\dfrac{1}{12}$ бассейна, значит, весь бассейн наполнится за $12$ ч.
Проверка: за $12$ ч: $\dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3} - 1 = 1$, то есть бассейн заполнен целиком.
Ответ: 12

Идея: Сначала найдём путь, который автобус проехал один. Потом они едут навстречу друг другу: каждый час расстояние между ними уменьшается на сумму их скоростей.
Шаг 1. До выезда автомобиля автобус ехал $2$ ч: $80 \cdot 2 = 160$ км.
Шаг 2. В этот момент между ними осталось $550 - 160 = 390$ км.
Шаг 3. Скорость сближения (на сколько километров уменьшается расстояние за час): $80 + 50 = 130$ км/ч.
Шаг 4. Время до встречи: $390 : 130 = 3$ ч.
Проверка: автобус всего проехал $80 \cdot 5 = 400$ км, автомобиль — $50 \cdot 3 = 150$ км; $400 + 150 = 550$ км.
Ответ: 3

Идея: По течению к собственной скорости лодки прибавляется скорость течения, против течения — вычитается. Поэтому разность этих двух скоростей равна удвоенной скорости течения.
Шаг 1. Скорость по течению (путь : время): $60 : 5 = 12$ км/ч.
Шаг 2. Скорость против течения: $60 : 6 = 10$ км/ч.
Шаг 3. Разность: $12 - 10 = 2$ км/ч — это удвоенная скорость течения.
Шаг 4. Скорость течения: $2 : 2 = 1$ км/ч.
Проверка: собственная скорость лодки $11$ км/ч: $11 + 1 = 12$, $11 - 1 = 10$ — сходится.
Ответ: 1

Идея: Если разложить число на простые множители, число его делителей сразу считается по показателям степеней.
Шаг 1. Правило: если $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots$ ($p_1, p_2, \ldots$ — различные простые числа), то число делителей равно $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots$. Например, $12 = 2^2 \cdot 3$, $(2 + 1)(1 + 1) = 6$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
Шаг 2. Поэтому разбиваем $18$ на множители (каждый множитель — «показатель $+ 1$»): $18 = 9 \cdot 2 = 6 \cdot 3 = 3 \cdot 3 \cdot 2$.
Шаг 3. В каждом случае берём наименьшее число: самый большой показатель даём самому маленькому простому $2$, следующий — $3$ и т. д.: $2^{17} = 131\,072$; $2^{8} \cdot 3 = 768$; $2^{5} \cdot 3^{2} = 288$; $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 180$.
Шаг 4. Наименьшее из них — $180$.
Проверка: $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$, число делителей $(2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 18$.
Ответ: 180

Идея: Промежуток между совместными отправлениями — наименьшее число, которое делится на $10$, $12$ и $15$, то есть их НОК (наименьшее общее кратное).
Шаг 1. Раскладываем на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$, $12 = 2^{2} \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. В НОК берём каждый простой множитель в наибольшей степени: $\text{НОК}(10, 12, 15) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Шаг 2. Значит, все три отправляются вместе каждые $60$ мин: 8:00, 9:00, 10:00, …
Шаг 3. С 8:00 до 20:00 проходит $12$ ч $=$ $720$ мин. $720 : 60 = 12$, то есть после 8:00 они отправятся вместе ещё $12$ раз (последний — в 20:00).
Шаг 4. Добавляем первое отправление в 8:00: $12 + 1 = 13$.
Ответ: 13

Идея: В каждом случае остаток на $1$ меньше делителя. Значит, если к числу прибавить $1$, остаток «заполнится» и число разделится на каждое из чисел $3$, $7$, $9$ без остатка.
Шаг 1. Пусть искомое число $N$. Например, если , то — делится на . С остальными делителями так же. Шаг 2. Значит, — общее кратное чисел , , . Чтобы было наименьшим, должно быть наименьшим общим кратным (НОК). Шаг 3. , , , поэтому . Шаг 4. , . Проверка: , , . 62

Идея: Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания, а последние цифры степеней повторяются по циклу. Найдём последнюю цифру каждого слагаемого отдельно.
Шаг 1. Последняя цифра $17^{2085}$ такая же, как у $7^{2085}$ (при умножении последняя цифра зависит только от последних цифр). Последние цифры степеней числа $7$: $7^{1} \to 7,\ 7^{2} \to 9,\ 7^{3} \to 3,\ 7^{4} \to 1,\ 7^{5} \to 7$, … — повторяются через каждые $4$ шага. Делим $2085$ на $4$: $2085 = 4 \cdot 521 + 1$ — остаток $1$, поэтому берём цифру на $1$-м месте цикла: $7$.
Шаг 2. Последние цифры степеней числа $2$: $2^{1} \to 2,\ 2^{2} \to 4,\ 2^{3} \to 8,\ 2^{4} \to 6,\ 2^{5} \to 2$, … — повторяются через каждые $4$ шага. Делим $2076$ на $4$: $2076 = 4 \cdot 519 + 0$ — остаток $0$, поэтому берём последнюю цифру цикла: $6$.
Шаг 3. Последняя цифра суммы получается из суммы последних цифр: $7 + 6 = 13$, последняя цифра — $3$.
Ответ: 3

Идея: Чётное число оканчивается чётной цифрой, а первая цифра не может быть $0$. Цифра $0$ влияет на оба условия, поэтому разберём два случая отдельно: последняя цифра $0$ и последняя цифра не $0$.
Шаг 1. Последняя цифра — $0$. Первая — любая из оставшихся $4$ цифр (среди них нет $0$), средняя — любая из оставшихся $3$: $4 \cdot 3 = 12$ чисел (например, $230$).
Шаг 2. Последняя цифра — одна из $2, 6$ ($2$ способа). Первая цифра — не $0$ и не последняя: $3$ способа. Средняя — любая из оставшихся $3$ (теперь можно и $0$): $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ чисел (например, $302$).
Шаг 3. Всего: $12 + 18 = 30$.
Ответ: 30

Идея: Каждый участник играет со всеми, кроме себя, по одному разу. Выразим число партий через число участников.
Шаг 1. Пусть участников $k$. Каждый играет $k - 1$ партий (со всеми, кроме себя).
Шаг 2. В произведении $k(k - 1)$ каждая партия посчитана дважды (у каждого из двух игроков), поэтому число партий равно $\dfrac{k(k - 1)}{2}$.
Шаг 3. $\dfrac{k(k - 1)}{2} = 231$, то есть $k(k - 1) = 462$. Два соседних числа с произведением $462$: $22 \cdot 21 = 462$, поэтому $k = 22$.
Шаг 4. Каждый участник сыграл $22 - 1 = 21$ партию.
Проверка: $22 \cdot 21 : 2 = 231$ партия.
Ответ: 21

Идея: Операция $a \circ b$ — это правило: первое число $a$ умножаем на второе $b$, затем из произведения вычитаем оба числа. Сначала считаем скобку, её результат становится первым числом следующей операции.
Шаг 1. В скобке $a = 5$, $b=6$: . Шаг 2. Теперь , : . 17

Идея: Если выбрать первую цифру ($a$), то сумма двух остальных цифр известна. Для каждого $a$ считаем возможные пары и складываем.
Шаг 1. Первая цифра $a$ (не $0$), сумма двух остальных цифр $t = 16 - a$.
Шаг 2. Число пар цифр (десятки и единицы, от $0$ до $9$) с суммой $t$: $t + 1$ при $t \le 9$ (например, $t = 3$: 03, 12, 21, 30), $19 - t$ при $t \ge 10$ (например, $t = 17$: 89, 98).
Шаг 3. $a$ — от $1$ до $9$: $a = 1$: $t = 15$ → $4$; $a = 2$: $t = 14$ → $5$; $a = 3$: $t = 13$ → $6$; $a = 4$: $t = 12$ → $7$; $a = 5$: $t = 11$ → $8$; $a = 6$: $t = 10$ → $9$; $a = 7$: $t = 9$ → $10$; $a = 8$: $t = 8$ → $9$; $a = 9$: $t = 7$ → $8$.
Шаг 4. Всего: $4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 = 66$.
Ответ: 66

Идея: Сначала посчитаем числа, которые делятся на $8$ или на $15$, и вычтем их из всех чисел. Числа, делящиеся на оба, при этом посчитаны дважды, поэтому один раз их убираем.
Шаг 1. От $1$ до $250$ на $8$ делятся ($8$, $16$, $24$, …): $250 = 8 \cdot 31 + 2$, то есть $31$ число.
Шаг 2. На $15$ делятся: $250 = 15 \cdot 16 + 10$, то есть $16$ чисел.
Шаг 3. На оба делятся числа, кратные $\text{НОК}(8, 15) = 120$ (НОК — наименьшее общее кратное): $250 = 120 \cdot 2 + 10$, то есть $2$ числа. Они попали в оба предыдущих подсчёта.
Шаг 4. Делятся хотя бы на одно из чисел: $31 + 16 - 2 = 45$.
Шаг 5. Не делятся ни на одно: $250 - 45 = 205$.
Ответ: 205

Идея: Среднее арифметическое $=$ сумма : количество чисел. Значит, сумма $=$ среднее $\cdot$ количество. Вычеркнутое число — разность сумм до и после.
Шаг 1. Сумма всех $13$ чисел: $13 \cdot 18 = 234$.
Шаг 2. После вычёркивания осталось $13 - 1 = 12$ чисел, их сумма: $12 \cdot 12 = 144$.
Шаг 3. Сумма уменьшилась ровно на вычеркнутое число: $234 - 144 = 90$.
Проверка: $234 - 90 = 144$, $144 : 12 = 12$ — новое среднее совпадает.
Ответ: 90

Идея: Обозначим нынешний возраст сына через $x$. Через $6$ лет возраст каждого увеличится на $6$ — отсюда составим уравнение.
Шаг 1. Сейчас сыну $x$ лет, отцу $6x$ (потому что он старше в $6$ раз).
Шаг 2. Через $6$ лет сыну будет $x + 6$, отцу $6x + 6$. Тогда отец старше в $4$ раза: $6x + 6 = 4(x + 6)$.
Шаг 3. Раскрываем скобки: $6x + 6 = 4x + 24$. Члены с $x$ — влево, числа — вправо: $2x = 24 - 6 = 18$, $x = 18 : 2 = 9$.
Шаг 4. Сыну $9$ лет, отцу $6 \cdot 9 = 54$ года.
Проверка: через $6$ лет сыну $15$, отцу $60$; $4 \cdot 15 = 60$.
Ответ: 54

Идея: Дробь с произведением двух соседних чисел в знаменателе можно записать как разность: $\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}$. Тогда соседние слагаемые взаимно уничтожаются. Шаг 1. Проверим правило на первом слагаемом: , а . Верно. Шаг 2. Запишем так каждое слагаемое: . Шаг 3. и , и и т. д. сокращаются — остаются только самая первая и самая последняя дроби. Шаг 4. Приводим к общему знаменателю: .

Идея: $2 \cdot 5 = 10$. Объединим двойки с пятёрками в пары и выделим степень числа $10$ — она лишь приписывает нули в конце, а нули не меняют сумму цифр.
Шаг 1. $31 = 10 + 21$, поэтому $2^{31} = 2^{10} \cdot 2^{21}$.
Шаг 2. $2^{21} \cdot 5^{21} = (2 \cdot 5)^{21} = 10^{21}$ — это $1$ и $21$ нуль.
Шаг 3. Значит, $2^{31} \cdot 5^{21} = 2^{10} \cdot 10^{21} = 1024 \cdot 10^{21}$, где $2^{10} = 1024$. Это число $1024$, к которому приписали $21$ нуль.
Шаг 4. Сумма цифр (нули не считаем): $1 + 0 + 2 + 4 = 7$.
Ответ: 7

Идея: В двойном неравенстве выполняем одно и то же действие со всеми тремя частями: цель — оставить $x$ в середине одного.
Шаг 1. Прибавим $4$ ко всем трём частям: $-6 \le 2x < 19$.
Шаг 2. Разделим все три части на $2$ (при делении на положительное число знаки не меняются): $-3 \le x < \dfrac{19}{2} = 9\dfrac{1}{2}$.
Шаг 3. Целые решения: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ ($-3$ входит, потому что знак «≤»).
Шаг 4. Их количество: $9 - (-3) + 1 = 13$ (при подсчёте целых чисел от $-3$ до $9$ к разности прибавляем $1$).
Ответ: 13

Идея: Рыцарь говорит правду: оба его соседа — лжецы. Лжец лжёт: неверно, что оба его соседа лжецы, то есть хотя бы один сосед — рыцарь. Значит, каждый человек — рыцарь или сосед рыцаря.
Шаг 1. Каждый рыцарь «покрывает» не более $3$ человек: себя и двух соседей. Покрыты должны быть все $17$ человек.
Шаг 2. Если рыцарей $5$, они покрывают не более $3 \cdot 5 = 15$ человек, а это меньше $17$ — не хватает. Поэтому рыцарей не меньше $6$.
Шаг 3. Пример с $6$ рыцарями: между рыцарями сажаем одного или двух лжецов (по кругу): РЛЛ РЛЛ РЛЛ РЛЛ РЛЛ РЛ.
Шаг 4. Проверяем: у каждого рыцаря оба соседа — лжецы, значит, рыцарь сказал правду; рядом с каждым лжецом есть рыцарь, значит, слова лжеца ложны. Условие выполнено.
Ответ: 6

Идея: Найдём, на сколько градусов каждая стрелка повернулась от 12 (по ходу часов), и возьмём разность. Не забываем, что часовая стрелка тоже понемногу сдвигается каждую минуту!
Шаг 1. Минутная стрелка делает полный оборот ($360^\circ$) за $60$ минут, то есть $360^\circ : 60 = 6^\circ$ в минуту. За $4$ мин она повернётся от 12 на $4 \cdot 6^\circ = 24^\circ$.
Шаг 2. Часовая стрелка делает полный оборот за $12$ часов: $360^\circ : 12 = 30^\circ$ в час, а в минуту $30^\circ : 60 = 0{,}5^\circ$. В 1:04 она повернулась от 12 на $1 \cdot 30^\circ + 4 \cdot 0{,}5^\circ = 30^\circ + 2^\circ = 32^\circ$.
Шаг 3. Угол между стрелками: $32^\circ - 24^\circ = 8^\circ$.
Ответ: 8

Идея: Площадь прямоугольника $=$ длина $\cdot$ ширина. Длина и ширина умножаются на некоторые числа, поэтому площадь умножается на их произведение. Просто складывать и вычитать проценты нельзя!
Шаг 1. Длину увеличили на $20\%$: она стала $100\% + 20\% = 120\%$, то есть умножилась на . Шаг 2. Ширину уменьшили на : осталось , то есть она умножилась на . Шаг 3. Площадь умножается на . Шаг 4. — это , то есть площадь стала от прежней: уменьшилась на . Проверка: если стороны и , площадь . Новые стороны и : , это от . (Ошибка — считать .) уменьшится на

Идея: измеряем работу в «долях»: один рабочий за один день выполняет $1$ долю. Тогда объём работы = число рабочих × число дней.
Шаг 1. Вся работа: $9 \cdot 11 = 99$ долей, потому что каждый из $9$ рабочих работает $11$ дней и делает по $1$ доле в день.
Шаг 2. За первые $6$ дней $9$ рабочих выполнили $9 \cdot 6 = 54$ доли. Осталось: $99 - 54 = 45$ долей.
Шаг 3. Теперь рабочих $9 + 6 = 15$, они делают $15$ долей в день. На остаток уйдёт $45 : 15 = 3$ дня.
Шаг 4. Всего: $6 + 3 = 9$ дней (не забываем первые $6$ дней!).
Проверка: $9 \cdot 6 + 15 \cdot 3 = 54 + 45 = 99$
Ответ: 9

Идея: увеличить сумму на $10\%$ — значит умножить её на $1{,}1$ (потому что $100\% + 10\% = 110\% = 1{,}1$). Каждый год сумма снова умножается на $1{,}1$.
Шаг 1. Обозначим начальную сумму через $X$ ($X$ — вложенные деньги).
Шаг 2. За $2$ года сумма 2 раза умножается на $1{,}1$: $X \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = X \cdot 1{,}21$.
Шаг 3. Прирост — разность конечной и начальной сумм: $X \cdot 1{,}21 - X = X \cdot 0{,}21$. По условию это $45150$ тенге.
Шаг 4. $X \cdot 0{,}21 = 45150$, значит, $X = 45150 : 0{,}21 = 215000$ тенге.
Проверка: сумма по годам $215000 \to 236500 \to 260150$, а $260150 - 215000 = 45150$.
Ответ: 215000

Идея: при смешивании масса чистой кислоты не меняется: кислота в первом растворе + кислота в добавленном растворе = кислота в смеси.
Шаг 1. Пусть масса добавленного раствора $x$ г. Тогда масса смеси $(400 + x)$ г.
Шаг 2. Найдём массу кислоты ($35\%$ — это $0{,}35$ от всей массы): в первом растворе $0{,}35 \cdot 400$ г, в добавленном $0{,}5x$ г, в смеси $0{,}45(400 + x)$ г. Уравнение: $0{,}35 \cdot 400 + 0{,}5x = 0{,}45(400 + x)$.
Шаг 3. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части на $100$: $400 \cdot 35 + 50x = 45(400 + x)$, раскроем скобки: $14000 + 50x = 18000 + 45x$.
Шаг 4. Члены с $x$ соберём в одной части, числа — в другой: $5x = 4000$, $x = 4000 : 5 = 800$ г.
Проверка: кислоты $0{,}35 \cdot 400 + 0{,}5 \cdot 800 = 140 + 400 = 540$ г, в смеси $0{,}45 \cdot 1200 = 540$ г — равны.
Ответ: 800

Идея: «обратно пропорциональны $3$, $4$, $9$» значит, что части относятся как $\dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{4} : \dfrac{1}{9}$ (чем больше число, тем меньше часть). Запишем отношение в целых числах и найдём «одну долю».
Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю ($36$ — НОК, то есть наименьшее общее кратное чисел $3$, $4$, $9$): $\dfrac{1}{3} = \dfrac{12}{36},\ \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{36},\ \dfrac{1}{9} = \dfrac{4}{36}$. Значит, части относятся как $12 : 9 : 4$.
Шаг 2. Обозначим части $12k$, $9k$, $4k$, где $k$ — одна доля.
Шаг 3. Разность наибольшей и наименьшей частей $12k - 4k = 8k$. Она равна $96$, поэтому $k = 96 : 8 = 12$.
Шаг 4. Искомое число — сумма трёх частей: $(12 + 9 + 4) \cdot 12 = 25 \cdot 12 = 300$.
Проверка: части $144,\ 108,\ 48$: $144 + 108 + 48 = 300$, $144 - 48 = 96$, $144 \cdot 3 = 108 \cdot 4 = 48 \cdot 9 = 432$ — обратная пропорциональность выполнена.
Ответ: 300

Идея: периметр — длина границы фигуры. Разобьём границу на части и посчитаем каждую отдельно. Длина окружности $C = \pi d$, где $d$ — диаметр. Пунктирные линии на рисунке в границу не входят.
Шаг 1. Верхняя сторона: $12$ см.
Шаг 2. Из середины нижней стороны вырезано $3$ см, две оставшиеся части вместе: $12 - 3 = 9$ см. Шаг 3. Диаметр полуокружностей по бокам — ширина прямоугольника, см. Две полуокружности вместе дают целую окружность: см. Шаг 4. Дуга выреза — половина окружности диаметром см: см. Шаг 5. Складываем всё: см.

Идея: площадь кольца = площадь большого круга − площадь малого круга. Для этого сначала найдём радиусы по длинам окружностей.
Шаг 1. Длина окружности $C = 2\pi r$ ($r$ — радиус), здесь $2\pi = 2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28$. Значит, . Шаг 2. Радиус большой окружности: см, малой: см. Шаг 3. Площадь круга . Большой круг: см², малый круг: см². Шаг 4. Площадь кольца: см².

Идея: при симметрии относительно оси $Ox$ абсцисса ($x$) не меняется, а ордината ($y$) меняет знак: $(x;\,y) \to (x;\,-y)$. Тогда — фигура, симметричная относительно ; разобьём её на прямоугольник и треугольники. Шаг 1. Симметричные точки: , . Шаг 2. У точек и одинаковая абсцисса, поэтому отрезок вертикальный, его длина (каждая точка находится на расстоянии от оси ). Так же вертикальный, длина . Шаг 3. Расстояние между этими вертикальными отрезками — разность абсцисс: . Шаг 4. Разобьём фигуру на прямоугольник со сторонами и ( — длина короткого отрезка ) и два одинаковых прямоугольных треугольника выше и ниже оси с катетами и . Шаг 5. Площадь = прямоугольник + два треугольника (площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов): см². 24

Идея: чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на НОК знаменателей (наименьшее общее кратное), а затем решим простое линейное уравнение.
Шаг 1. НОК чисел $6$ и $2$ равен $6$. Умножим обе части на $6$ ($6 : 6 = 1,\ 6 : 2 = 3$): . Шаг 2. Раскроем скобки. Если перед скобкой минус, знаки внутри меняются: . Шаг 3. Соберём члены с (), а числа перенесём вправо с противоположным знаком: . Шаг 4. Тогда . Проверка: 43

Идея: сначала считаем, что все ответы верные, а затем выясняем, на сколько каждый неверный ответ уменьшает сумму баллов.
Шаг 1. Арман ответил на $40 - 4 = 36$ вопросов.
Шаг 2. Если бы все ответы были верными, он набрал бы $5 \cdot 36 = 180$ баллов.
Шаг 3. Если вместо верного ответа дан неверный, сумма уменьшается на $5 + 1 = 6$ баллов, потому что не начисляется $5$ и ещё снимается $1$.
Шаг 4. У Армана на $180 - 138 = 42$ балла меньше, чем при всех верных. Значит, неверных ответов: $42 : 6 = 7$.
Шаг 5. Верных ответов: $36 - 7 = 29$.
Проверка: $5 \cdot 29 - 1 \cdot 7 = 145 - 7 = 138$
Ответ: 29

Идея: вычтем из выделенных денег обязательные расходы (автобус и билеты учителей), а затем найдём, сколько ученических билетов можно купить на остаток. Число учеников — целое.
Шаг 1. Ученический билет на $10\%$ дешевле, то есть стоит $90\%$ от взрослого: $4000 \cdot 0{,}9 = 3600$ тенге.
Шаг 2. Автобус и билеты $2$ учителей: тенге. Шаг 3. На билеты ученикам остаётся: тенге. Шаг 4. Пусть едут учеников: . Делим: (остаток ). Шаг 5. Значит, на учеников денег хватает (), а на — уже нет (). 49

Идея: чётная степень отрицательного числа — положительное число, нечётная — отрицательное. Сначала вычисляем степени, затем умножение, в конце сложение и вычитание.
Шаг 1. $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64$ (степень нечётная, результат отрицательный). Шаг 2. (степень чётная, результат положительный). Шаг 3. , потому что — нечётное число: в чётной степени даёт , в нечётной — . Шаг 4. ( — нечётное число, результат отрицательный). Шаг 5. Подставляем: . Помним: , а .

Идея: сначала упростим выражение (раскроем скобки и приведём подобные) — тогда десятичные дроби подставим только один раз.
Шаг 1. Раскрываем скобки: число перед скобкой умножаем на каждый член в скобке; если перед скобкой минус, знаки меняются: $3x - 9y - 8x + 8y$.
Шаг 2. Приводим подобные (члены с одинаковой буквой): $3x - 8x = -5x$, . Упрощённое выражение: . Шаг 3. Подставляем значения: , . Шаг 4. Складываем: . 14

Идея: среднее арифметическое = сумма чисел : их количество; медиана — число, стоящее ровно посередине упорядоченного по возрастанию ряда; мода — число, которое встречается чаще всего.
Шаг 1. Сумма: $12 + 15 + 1 + 9 + 1 + 5 + 13 + 1 + 15 = 72$. Среднее арифметическое: $72 : 9 = 8$.
Шаг 2. Запишем числа по возрастанию: $1; 1; 1; 5; \underline{9}; 12; 13; 15; 15$. Посередине девяти чисел стоит 5-е (перед ним $4$ числа и после него $4$), значит, медиана $9$.
Шаг 3. Число $1$ встречается $3$ раза, остальные — реже. Значит, мода $1$.
Шаг 4. Сумма трёх чисел: $8 + 9 + 1 = 18$.
Ответ: 18

Идея: сначала найдём, сколько в среднем собрал один класс. Затем вычислим, сколько процентов разность составляет от этого среднего: (разность : среднее) · 100%.
Шаг 1. По диаграмме (линии сетки через $10$ кг): 6А — $70$ кг, 6Б — $30$ кг, 6В — $70$ кг, 6Г — $60$ кг, 6Д — $50$ кг.
Шаг 2. В среднем: $(70 + 30 + 70 + 60 + 50) : 5 = 280 : 5 = 56$ кг.
Шаг 3. Класс 6В собрал на $70 - 56 = 14$ кг больше среднего.
Шаг 4. Проценты считаем от среднего (от того, с чем сравниваем): $14 : 56 \cdot 100\% = \dfrac{14}{56} \cdot 100\% = 25\%$.
Проверка: $25\%$ от $56$ кг — это $56 \cdot 0{,}25 = 14$ кг, $56 + 14 = 70$ кг.
Ответ: 25

Идея: прибыль = выручка − затраты. Цены находим через проценты: дороже на $40\%$ — это $140\%$ цены, дешевле на $15\%$ — это $85\%$.
Шаг 1. Цена продажи: $8000 \cdot 1{,}4 = 11200$ тенге. Шаг 2. Скидка считается от цены продажи: тенге. Шаг 3. Со скидкой продали курток. Выручка: тенге. Шаг 4. Затраты (закупка): тенге. Шаг 5. Прибыль: тенге. 137840

Идея: средняя скорость = весь путь : всё время. Брать среднее арифметическое скоростей нельзя, потому что на разных участках машина ехала разное время.
Шаг 1. Пусть треть пути равна $100$ км ($100$ — наименьшее число, делящееся на $25$, $100$, $20$, то есть НОК; ответ от длины пути не зависит).
Шаг 2. Время на каждом участке (время = путь : скорость): $100 : 25 = 4,\ 100 : 100 = 1,\ 100 : 20 = 5$ ч.
Шаг 3. Всё время: $4 + 1 + 5 = 10$ ч. Весь путь: $3 \cdot 100 = 300$ км.
Шаг 4. Средняя скорость: $300 : 10 = 30$ км/ч.
Шаг 5. Для сравнения: среднее арифметическое скоростей было бы $(25 + 100 + 20) : 3 = 48\dfrac{1}{3}$ км/ч — это неверный ответ.
Ответ: 30

Идея: примем всю работу за $1$. Мастер, выполняющий работу за $10$ дней, за один день делает $\dfrac{1}{10}$ работы.
Шаг 1. За один день первый делает $\dfrac{1}{10}$, второй — $\dfrac{1}{20}$ работы. Вместе: $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{2}{20} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{3}{20}$ работы.
Шаг 2. За $3$ дня вместе: $3 \cdot \dfrac{3}{20} = \dfrac{9}{20}$ работы.
Шаг 3. Осталось: $1 - \dfrac{9}{20} = \dfrac{11}{20}$.
Шаг 4. Это сделал второй один, выполняя $\dfrac{1}{20}$ работы в день: $\dfrac{11}{20} : \dfrac{1}{20} = \dfrac{11}{20} \cdot 20 = 11$ дней.
Шаг 5. Всего: $3 + 11 = 14$ дней.
Проверка: $\dfrac{9}{20} + 11 \cdot \dfrac{1}{20} = \dfrac{9}{20} + \dfrac{11}{20} = 1$
Ответ: 14

Идея: дни недели повторяются каждые $7$ дней. Поэтому достаточно найти число дней между датами, разделить его на $7$ и отсчитать только остаток.
Шаг 1. Оставшиеся дни июля после $6$-го: $31 - 6 = 25$.
Шаг 2. Полные месяцы: август — $31$, сентябрь — $30$ дн.
Шаг 3. От начала месяца до $14$ октября: $14$ дней. Всего: $25 + 31 + 30 + 14 = 100$ дней.
Шаг 4. $100 = 7 \cdot 14 + 2$: проходит $14$ полных недель (после них день недели тот же), и остаётся ещё $2$ дня.
Шаг 5. От дня «воскресенье» отсчитываем $2$ дня вперёд: воскресенье → понедельник → вторник.
Ответ: вторник

Идея: $45 = 5 \cdot 9$, причём $5$ и $9$ взаимно просты (общий делитель только $1$). Поэтому число делится на $45$ тогда, когда оно делится и на $5$, и на $9$. Сначала по признаку делимости на $5$ найдём $y$, затем по признаку делимости на $9$ — $x$.
Шаг 1. Обозначим звёздочки через $x$ и $y$: $\overline{x079y}$.
Шаг 2. Признак делимости на $5$: последняя цифра 0 или 5. Отсюда $y = 0, 5$.
Шаг 3. Признак делимости на $9$: сумма цифр делится на 9. Сумма известных цифр равна $16$, поэтому $16 + x + y$ должно делиться на 9. Заметим: $x$ — первая цифра, поэтому $x \ne 0$.
Шаг 4. Для каждого $y$ ищем $x$:
• $y = 0$: $16 + x$ делится на 9 $\Rightarrow$ $x = 2$; число: $20790$;
• $y = 5$: $21 + x$ делится на 9 $\Rightarrow$ $x = 6$; число: $60795$.
Шаг 5. Всего получается $2$ числа.
Ответ: 2