Esepter турнирі №3 · 6-сынып · Олимпиадалық

Идея: Екі қатынасқа да $b$ саны кіреді. Оған сәйкес бөлік санын екі қатынаста бірдей етсек, $a$, $b$, $c$ сандарын бірдей «бөліктермен» өлшей аламыз.
1-қадам. Бірінші қатынаста $b$ — $7$ бөлік, екіншісінде — бөлік. Бірінші қатынастың екі мүшесін де -ге, екінші қатынастың екі мүшесін де -ге көбейтеміз (қатынастың екі мүшесін бірдей санға көбейтсек, қатынас өзгермейді): , . 2-қадам. Енді екі қатынаста да — бөлік, сондықтан . 3-қадам. Барлығы бөлік, бұл — . Бір бөлік: . 4-қадам. саны — бөлік: . Тексеру: , , ; . 196

Идея: Бағаның пайызға өзгеруі — оны белгілі бір санға көбейту. Соңғы бағадан бастапқы бағаны табу үшін кері амалды — бөлуді қолданамыз.
1-қадам. Бастапқы баға $X$ болсын. $30\%$-ға қымбаттағанда жаңа баға бастапқы бағаның $100\% + 30\% = 130\%$-ы болады, яғни $X$ саны $1{,}3$ санына көбейеді.
2-қадам. Жаңа баға $25\%$-ға арзандағанда одан $100\% - 25\% = 75\%$ қалады, яғни ол $0{,}75$ санына көбейеді: $X \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}75 = X \cdot 0{,}975$.
3-қадам. Бұл $9750$ теңгеге тең: $X \cdot 0{,}975 = 9750$, сондықтан $X = 9750 : 0{,}975 = 10000$.
Тексеру: $10000 \cdot 1{,}3 = 13000$, $13000 \cdot 0{,}75 = 9750$.
Жауабы: 10000

Идея: Су қосқанда тұздың массасы өзгермейді, тек ерітіндінің жалпы массасы артады. Сондықтан алдымен тұзды табамыз.
1-қадам. $18\%$ — бұл $0{,}18$ бөлік. Тұздың массасы: $300 \cdot 0{,}18 = 54$ г.
2-қадам. Су қосқаннан кейін де тұз $54$ г, бірақ енді ол жаңа ерітіндінің $12\%$-ы, яғни $0{,}12$ бөлігі.
3-қадам. Жаңа ерітіндінің массасы (бөлігі бойынша бүтінді табамыз): $54 : 0{,}12 = 450$ г.
4-қадам. Қосылған су — жаңа және бастапқы массалардың айырмасы: $450 - 300 = 150$ г.
Тексеру: $54 : 450 = 0{,}12$, яғни $12\%$.
Жауабы: 150

Идея: Алдымен көбейту мен бөлу, сосын қосу мен азайту орындалады. Таңба ережесі: таңбалары бірдей екі санның көбейтіндісі мен бөліндісі оң, таңбалары әртүрлі болса — теріс.
1-қадам. $(-5) \cdot 3 = -15$ — таңбалары әртүрлі, нәтиже теріс.
2-қадам. $(-36) : (-6) = 6$ — екеуі де теріс, нәтиже оң. Бұл бөліндінің алдында минус тұр, сондықтан азайтылады. 3-қадам. — екеуі де теріс, нәтиже оң. 4-қадам. Енді солдан оңға қарай есептейміз: .

Идея: Модуль — нөлден қашықтық. $|y| < 9$ дегеніміз: $y$ саны нөлден $9$-дан кіші қашықтықта, яғни $-9$ мен $9$ аралығында жатыр.
1-қадам. Сондықтан $-9 < 2x - 11 < 9$.
2-қадам. Барлық үш бөлікке $11$ санын қосамыз: $2 < 2x < 20$.
3-қадам. Барлық бөлікті екіге бөлеміз: $1 < x < 10$.
4-қадам. Осы аралықтағы бүтін сандар: $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ ($1$ мен $10$ кірмейді, себебі белгі «<», яғни қатаң).
5-қадам. Олардың қосындысы: $2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44$.
Тексеру: $x = 2$: $|2 \cdot 2 - 11| = 7 < 9$ — шешім; $x = 1$: $|2 \cdot 1 - 11| = 9$, бұл $9$-дан кіші емес — шешім емес.
Жауабы: 44

Идея: Жақшаларды ашып, құрамында $x$ бар мүшелерді сол жаққа, сандарды оң жаққа жинаймыз. Мүшені теңдіктің екінші жағына шығарғанда оның таңбасы қарама-қарсыға өзгереді.
1-қадам. Жақшаларды ашамыз: $8(x - 3) = 8x - 24$, ал $-2(x + 6) = -2x - 12$ (жақша алдындағы минус ішіндегі «+» таңбасын «−» етеді). Теңдеу: $8x - 24 - 2x - 12 = -18$.
2-қадам. Құрамында $x$ бар мүшелерді біріктіреміз: $8x - 2x = 6x$. Сандарды оң жаққа шығарамыз (таңбалары «+» болады): $6x = -18 + 24 + 12$.
3-қадам. Оң жақты есептейміз: $-18 + 24 + 12 = 18$. $6x = 18$, екі жағын $6$-ға бөлеміз: $x = 18 : 6 = 3$.
Тексеру: $8 \cdot (3 - 3) - 2 \cdot (3 + 6) = 8 \cdot 0 - 2 \cdot 9 = 0 - 18 = -18$.
Жауабы: 3

Идея: Санның $\dfrac{1}{5}$ бөлігі мен $\dfrac{1}{7}$ бөлігінің айырмасы — сол санның бөлігі. Бұл бөлік -ға тең, ал бөлігі бойынша санды табу үшін бөлеміз. 1-қадам. Ізделген санды деп белгілейміз. Шарт бойынша: . 2-қадам. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп азайтамыз: . Демек санның бөлігі -ға тең. 3-қадам. Санды табамыз: . Тексеру: . 280

Идея: Ауданы арқылы алдымен радиусты табамыз, сосын радиус арқылы шеңбердің ұзындығын есептейміз.
1-қадам. Дөңгелектің ауданы: $S = \pi r^2$, мұндағы $S$ — аудан, $r$ — радиус. Сондықтан $3{,}14 \cdot r^2 = 200{,}96$, . 2-қадам. Квадраты болатын сан — , себебі . Демек см. 3-қадам. Шеңбердің ұзындығы: , мұндағы — шеңбер ұзындығы. см. Тексеру: — аудан дұрыс.

Идея: Масштаб ұзындықтарға қатысты. Аудан — екі ұзындықтың (ұзындық пен еннің) көбейтіндісі, сондықтан алдымен картадағы $1$ см² жерде неше гектарға сәйкес келетінін табамыз.
1-қадам. Масштаб $1 : 10000$ дегеніміз: картадағы $1$ см жердегі $10\,000$ см-ге сәйкес келеді. $10\,000$ см $=$ $100$ м, себебі $1$ м $=$ $100$ см.
2-қадам. Картадағы $1$ см² — қабырғасы $1$ см шаршы. Жерде бұл — қабырғасы $100$ м шаршы, оның ауданы $100 \cdot 100 = 10\,000$ м².
3-қадам. $1$ га $= 10\,000$ м², сондықтан $10\,000 : 10\,000 = 1$. Яғни картадағы $1$ см² жердегі $1$ га-ға сәйкес келеді.
4-қадам. Картадағы аудан $9$ см², сондықтан нақты аудан: $9 \cdot 1 = 9$ га.
Жауабы: 9

Идея: Координаталарға қарасақ, үшбұрыштың екі қабырғасы координаталық осьтерге параллель. Демек үшбұрыш тікбұрышты, ал тікбұрышты үшбұрыштың ауданы — катеттер (тік бұрышты құрайтын қабырғалар) көбейтіндісінің жартысы.
1-қадам. $A$ мен $B$ нүктелерінің екінші координаталары (ординаталары) бірдей — $-6$. Демек $AB$ кесіндісі $Ox$ осіне параллель, оның ұзындығы — бірінші координаталардың айырмасы: см. 2-қадам. мен нүктелерінің бірінші координаталары (абсциссалары) бірдей — . Демек кесіндісі осіне параллель: см. 3-қадам. пен осьтері перпендикуляр, сондықтан бұрышы — тік бұрыш, ал мен — катеттер. 4-қадам. Ауданы: см². Тексеру: үшбұрыш — қабырғалары және тіктөртбұрыштың жартысы: . 12

Идея: Толық бассейнді $1$ деп аламыз да, әр құбырдың $1$ сағаттағы үлесін табамыз. Толтыратын құбырлардың үлестері қосылады, босататынның үлесі азайтылады.
1-қадам. $1$ сағатта бірінші құбыр бассейннің $\dfrac{1}{9}$ бөлігін, екіншісі $\dfrac{1}{18}$ бөлігін толтырады, ал үшіншісі $\dfrac{1}{12}$ бөлігін босатады.
2-қадам. Үшеуі бірге $1$ сағатта: $\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{12}$. Ортақ бөлім — $\text{ЕКОЕ}(9, 18, 12) = 36$ (ЕКОЕ — ең кіші ортақ еселік): $\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{36} + \dfrac{2}{36} - \dfrac{3}{36} = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$.
3-қадам. $1$ сағатта бассейннің $\dfrac{1}{12}$ бөлігі толады, демек толық бассейн $12$ сағатта толады.
Тексеру: $12$ сағатта: $\dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3} - 1 = 1$, яғни бассейн толық толады.
Жауабы: 12

Идея: Алдымен автобустың жалғыз жүрген жолын есептейміз. Сосын екеуі бір-біріне қарсы жүреді: әр сағат сайын арақашықтық екеуінің жылдамдықтарының қосындысына қысқарады.
1-қадам. Автомобиль шыққанша автобус $2$ сағат жүрді: $80 \cdot 2 = 160$ км.
2-қадам. Сол кезде араларында $550 - 160 = 390$ км қалды.
3-қадам. Жақындау жылдамдығы (бір сағатта арақашықтық қаншаға қысқарады): $80 + 50 = 130$ км/сағ.
4-қадам. Кездесуге дейінгі уақыт: $390 : 130 = 3$ сағ.
Тексеру: автобус барлығы $80 \cdot 5 = 400$ км, автомобиль $50 \cdot 3 = 150$ км жүрді; $400 + 150 = 550$ км.
Жауабы: 3

Идея: Ағыспен жүргенде қайықтың өз жылдамдығына ағыс жылдамдығы қосылады, ағысқа қарсы жүргенде — азайтылады. Сондықтан осы екі жылдамдықтың айырмасы ағыс жылдамдығының екі еселенгеніне тең.
1-қадам. Ағыспен жылдамдық (жол : уақыт): $60 : 5 = 12$ км/сағ.
2-қадам. Ағысқа қарсы жылдамдық: $60 : 6 = 10$ км/сағ.
3-қадам. Айырмасы: $12 - 10 = 2$ км/сағ — бұл ағыс жылдамдығының екі еселенгені.
4-қадам. Ағыс жылдамдығы: $2 : 2 = 1$ км/сағ.
Тексеру: қайықтың өз жылдамдығы $11$ км/сағ: $11 + 1 = 12$, $11 - 1 = 10$ — сәйкес келеді.
Жауабы: 1

Идея: Санды жай көбейткіштерге жіктесек, оның бөлгіштер санын дәрежелер арқылы бірден есептеуге болады.
1-қадам. Ереже: $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots$ болса ($p_1, p_2, \ldots$ — әртүрлі жай сандар), бөлгіштер саны $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots$ болады. Мысалы, $12 = 2^2 \cdot 3$, $(2 + 1)(1 + 1) = 6$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
2-қадам. Сондықтан $18$ санын көбейткіштерге бөлеміз (әр көбейткіш — «дәреже $+ 1$»): $18 = 9 \cdot 2 = 6 \cdot 3 = 3 \cdot 3 \cdot 2$.
3-қадам. Әр жағдайда ең кіші санды аламыз: ең үлкен дәрежені ең кіші жай сан $2$-ге, келесісін $3$-ке т.с.с. береміз: $2^{17} = 131\,072$; $2^{8} \cdot 3 = 768$; $2^{5} \cdot 3^{2} = 288$; $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 180$.
4-қадам. Олардың ең кішісі — $180$.
Тексеру: $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$, бөлгіштер саны $(2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 18$.
Жауабы: 180

Идея: Үш автобус бірге шығатын сәттердің арасы — $10$, $12$, $15$ сандарының бәріне бөлінетін ең кіші сан, яғни олардың ЕКОЕ-і (ең кіші ортақ еселігі).
1-қадам. Жай көбейткіштерге жіктейміз: $10 = 2 \cdot 5$, $12 = 2^{2} \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. ЕКОЕ табу үшін әр жай көбейткішті ең үлкен дәрежесімен аламыз: $\text{ЕКОЕ}(10, 12, 15) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
2-қадам. Демек үшеуі әр $60$ минут сайын бірге шығады: 8:00, 9:00, 10:00, …
3-қадам. 8:00 мен 20:00 аралығы: $12$ сағат $=$ $720$ минут. $720 : 60 = 12$, яғни 8:00-ден кейін тағы $12$ рет бірге шығады (соңғысы — 20:00).
4-қадам. 8:00-дегі бірінші шығуды да қосамыз: $12 + 1 = 13$.
Жауабы: 13

Идея: Әр жағдайда қалдық бөлгіштен $1$-ге кем. Демек санға $1$ қоссақ, қалдық «толып», сан $3$, $7$, $9$ сандарының әрқайсысына қалдықсыз бөлінеді.
1-қадам. Ізделген сан $N$ болсын. Мысалы, болса, — -ке бөлінеді. Қалған бөлгіштермен де солай. 2-қадам. Демек — , , сандарының ортақ еселігі. ең кіші болуы үшін ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) болуы керек. 3-қадам. , , , сондықтан . 4-қадам. , . Тексеру: , , . 62

Идея: Дәреженің соңғы цифры тек негіздің соңғы цифрына байланысты, ал дәрежелердің соңғы цифрлары белгілі бір циклмен қайталанады. Әр қосылғыштың соңғы цифрын бөлек табамыз.
1-қадам. $17^{2085}$ санының соңғы цифры $7^{2085}$ санының соңғы цифрымен бірдей (көбейткенде соңғы цифр тек соңғы цифрлардан шығады). $7$ санының дәрежелерінің соңғы цифрлары: $7^{1} \to 7,\ 7^{2} \to 9,\ 7^{3} \to 3,\ 7^{4} \to 1,\ 7^{5} \to 7$, … — әр $4$ қадам сайын қайталанады. $2085$ санын $4$-ке бөлсек, $2085 = 4 \cdot 521 + 1$ — қалдық $1$, сондықтан циклдің $1$-орнындағы цифрды аламыз: $7$.
2-қадам. $2$ санының дәрежелерінің соңғы цифрлары: $2^{1} \to 2,\ 2^{2} \to 4,\ 2^{3} \to 8,\ 2^{4} \to 6,\ 2^{5} \to 2$, … — әр $4$ қадам сайын қайталанады. $2076$ санын $4$-ке бөлсек, $2076 = 4 \cdot 519 + 0$ — қалдық $0$, сондықтан циклдің соңғы цифрын аламыз: $6$.
3-қадам. Қосындының соңғы цифры соңғы цифрлардың қосындысынан шығады: $7 + 6 = 13$, соңғы цифры — $3$.
Жауабы: 3

Идея: Жұп санның соңғы цифры жұп болады, ал бірінші цифр $0$ бола алмайды. $0$ екі шартқа да қатысты, сондықтан екі жағдайды бөлек санаймыз: соңғы цифр $0$ және соңғы цифр $0$ емес.
1-қадам. Соңғы цифр — $0$. Бірінші цифр — қалған $4$ цифрдың кез келгені (олардың ешқайсысы $0$ емес), ортаңғы цифр — қалған $3$ цифрдың бірі: $4 \cdot 3 = 12$ сан (мысалы, $230$).
2-қадам. Соңғы цифр — $2, 6$ цифрларының бірі ($2$ тәсіл). Бірінші цифр $0$ да, соңғы цифр да емес — $3$ тәсіл. Ортаңғы цифр — қалған $3$ цифрдың бірі (енді $0$ да болады): $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ сан (мысалы, $302$).
3-қадам. Барлығы: $12 + 18 = 30$.
Жауабы: 30

Идея: Әр қатысушы өзінен басқа барлығымен бір реттен ойнайды. Қатысушылар санын табу үшін партиялар санын қатысушылар саны арқылы өрнектейміз.
1-қадам. Қатысушылар саны $k$ болсын. Әрқайсысы $k - 1$ партия ойнайды (өзінен басқа барлығымен).
2-қадам. $k(k - 1)$ көбейтіндісінде әр партия екі рет саналады (екі ойыншының әрқайсысында), сондықтан партиялар саны $\dfrac{k(k - 1)}{2}$.
3-қадам. $\dfrac{k(k - 1)}{2} = 231$, яғни $k(k - 1) = 462$. Көбейтіндісі $462$ болатын қатар тұрған екі сан: $22 \cdot 21 = 462$, сондықтан $k = 22$.
4-қадам. Әр қатысушы $22 - 1 = 21$ партия ойнады.
Тексеру: $22 \cdot 21 : 2 = 231$ партия.
Жауабы: 21

Идея: $a \circ b$ амалы — ереже: бірінші сан $a$ мен екінші сан $b$ көбейтіледі, сосын көбейтіндіден екеуі де азайтылады. Алдымен жақша ішін есептеп, нәтижесін келесі амалдың бірінші саны ретінде аламыз.
1-қадам. Жақша ішінде $a = 5$, $b=6$: . 2-қадам. Енді , : . 17

Идея: Бірінші цифрды ($a$) таңдасақ, қалған екі цифрдың қосындысы белгілі болады. Әр $a$ үшін мүмкін жұптарды санап, нәтижелерді қосамыз.
1-қадам. Бірінші цифр $a$ ($0$ емес), қалған екі цифрдың қосындысы $t = 16 - a$.
2-қадам. Қосындысы $t$ болатын екі цифр (ондықтар мен бірліктер, $0$-ден $9$-ға дейін) жұптарының саны: $t \le 9$ болса $t + 1$ (мысалы, $t = 3$: 03, 12, 21, 30), $t \ge 10$ болса $19 - t$ (мысалы, $t = 17$: 89, 98).
3-қадам. $a$ саны $1$-ден $9$-ға дейін: $a = 1$: $t = 15$ → $4$; $a = 2$: $t = 14$ → $5$; $a = 3$: $t = 13$ → $6$; $a = 4$: $t = 12$ → $7$; $a = 5$: $t = 11$ → $8$; $a = 6$: $t = 10$ → $9$; $a = 7$: $t = 9$ → $10$; $a = 8$: $t = 8$ → $9$; $a = 9$: $t = 7$ → $8$.
4-қадам. Барлығы: $4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 = 66$.
Жауабы: 66

Идея: Алдымен $8$-ге немесе $15$-ке бөлінетін сандарды санап, оларды барлық сандардан азайтамыз. Екеуіне де бөлінетін сандар екі рет саналып кетеді, сондықтан оларды бір рет алып тастаймыз.
1-қадам. $1$-ден $250$-ге дейін $8$-ге бөлінетіндер ($8$, $16$, $24$, …): $250 = 8 \cdot 31 + 2$, яғни $31$ сан.
2-қадам. $15$-ке бөлінетіндер: $250 = 15 \cdot 16 + 10$, яғни $16$ сан.
3-қадам. Екеуіне де бөлінетіндер — $\text{ЕКОЕ}(8, 15) = 120$ санына бөлінетіндер (ЕКОЕ — ең кіші ортақ еселік): $250 = 120 \cdot 2 + 10$, яғни $2$ сан. Олар алдыңғы екі санауда да бар.
4-қадам. Кемінде біреуіне бөлінетіндер: $31 + 16 - 2 = 45$.
5-қадам. Ешқайсысына бөлінбейтіндер: $250 - 45 = 205$.
Жауабы: 205

Идея: Арифметикалық орта $=$ қосынды : сандар саны. Демек қосынды $=$ орта $\cdot$ сандар саны. Сызылған сан — бұрынғы және кейінгі қосындылардың айырмасы.
1-қадам. Барлық $13$ санның қосындысы: $13 \cdot 18 = 234$.
2-қадам. Біреуі сызылғаннан кейін $13 - 1 = 12$ сан қалды, олардың қосындысы: $12 \cdot 12 = 144$.
3-қадам. Қосынды сызылған санның шамасына азайды, сондықтан сызылған сан: $234 - 144 = 90$.
Тексеру: $234 - 90 = 144$, $144 : 12 = 12$ — жаңа орта дұрыс.
Жауабы: 90

Идея: Ұлының қазіргі жасын $x$ деп белгілейміз. $6$ жылдан кейін екеуінің де жасы $6$ жылға артады — осыдан теңдеу құрамыз.
1-қадам. Қазір ұлы $x$ жаста, әкесі $6x$ жаста (себебі $6$ есе үлкен).
2-қадам. $6$ жылдан кейін ұлы $x + 6$, әкесі $6x + 6$ жаста болады. Сонда әкесі $4$ есе үлкен: $6x + 6 = 4(x + 6)$.
3-қадам. Жақшаны ашамыз: $6x + 6 = 4x + 24$. $x$ бар мүшелерді сол жаққа, сандарды оң жаққа жинаймыз: $2x = 24 - 6 = 18$, $x = 18 : 2 = 9$.
4-қадам. Ұлы $9$ жаста, әкесі $6 \cdot 9 = 54$ жаста.
Тексеру: $6$ жылдан кейін ұлы $15$, әкесі $60$ жаста; $4 \cdot 15 = 60$.
Жауабы: 54

Идея: Көршілес екі санның көбейтіндісіне бөлінген бөлшекті айырма түрінде жазуға болады: $\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}$. Сонда көршілес қосылғыштар бір-бірін жояды. 1-қадам. Ережені бірінші қосылғышта тексерейік: , ал . Дұрыс. 2-қадам. Әр қосылғышты осылай жазамыз: . 3-қадам. мен , мен т.с.с. жойылады — тек ең бірінші және ең соңғы бөлшек қалады. 4-қадам. Ортақ бөлімге келтіреміз: .

Идея: $2 \cdot 5 = 10$. Екілер мен бестерді жұптап, $10$ санының дәрежесін бөліп аламыз — ол санның соңына тек нөлдер жазады, ал нөлдер цифрлар қосындысын өзгертпейді.
1-қадам. $31 = 10 + 21$, сондықтан $2^{31} = 2^{10} \cdot 2^{21}$.
2-қадам. $2^{21} \cdot 5^{21} = (2 \cdot 5)^{21} = 10^{21}$ — бұл $1$ мен $21$ нөл.
3-қадам. Демек $2^{31} \cdot 5^{21} = 2^{10} \cdot 10^{21} = 1024 \cdot 10^{21}$, мұндағы $2^{10} = 1024$. Бұл — $1024$ санының соңына $21$ нөл жазылған сан.
4-қадам. Цифрларының қосындысы (нөлдерді есептемейміз): $1 + 0 + 2 + 4 = 7$.
Жауабы: 7

Идея: Қос теңсіздікте үш бөлікке де бірдей амал қолданамыз: мақсат — ортада $x$ жалғыз қалсын.
1-қадам. Үш бөлікке де $4$ санын қосамыз: $-6 \le 2x < 19$.
2-қадам. Үш бөлікті де $2$-ге бөлеміз (оң санға бөлгенде белгілер өзгермейді): $-3 \le x < \dfrac{19}{2} = 9\dfrac{1}{2}$.
3-қадам. Бүтін шешімдер: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ ($-3$ кіреді, себебі белгі «≤»).
4-қадам. Олардың саны: $9 - (-3) + 1 = 13$ (бүтін сандарды $-3$-тен $9$-ға дейін санағанда, айырмаға $1$ қосамыз).
Жауабы: 13

Идея: Рыцарь шын айтады: оның екі көршісі де өтірікші. Өтірікші өтірік айтады: оның екі көршісі «екеуі де өтірікші» емес, яғни кемінде біреуі — рыцарь. Демек әр адам не рыцарь, не рыцарьдың көршісі.
1-қадам. Әр рыцарь ең көбі $3$ адамды «қамтиды»: өзін және екі көршісін. Барлық $17$ адам қамтылуы керек.
2-қадам. Егер рыцарь $5$ болса, олар ең көбі $3 \cdot 5 = 15$ адамды қамтиды, бұл $17$-ден аз — жетпейді. Сондықтан рыцарь кемінде $6$.
3-қадам. $6$ рыцарьмен мысал: рыцарьлардың арасына бір не екі өтірікші отырғызамыз (дөңгелек бойымен): РӨӨ РӨӨ РӨӨ РӨӨ РӨӨ РӨ.
4-қадам. Тексереміз: әр рыцарьдың екі көршісі де өтірікші — рыцарь шын айтты; әр өтірікшінің қасында рыцарь бар — өтірікшінің сөзі жалған. Шарт орындалады.
Жауабы: 6

Идея: Екі тілдің әрқайсысы 12-ден бастап (сағат тілі бағытымен) неше градусқа бұрылғанын тауып, айырмасын аламыз. Сағат тілі де минут сайын аздап жылжитынын ұмытпаймыз!
1-қадам. Минут тілі $60$ минутта толық айналым ($360^\circ$) жасайды, яғни минутына $360^\circ : 60 = 6^\circ$. $4$ минутта ол 12-ден бастап $4 \cdot 6^\circ = 24^\circ$ бұрылады.
2-қадам. Сағат тілі $12$ сағатта толық айналым жасайды: сағатына $360^\circ : 12 = 30^\circ$, ал минутына $30^\circ : 60 = 0{,}5^\circ$. Сағат 1:04 болғанда ол 12-ден бастап $1 \cdot 30^\circ + 4 \cdot 0{,}5^\circ = 30^\circ + 2^\circ = 32^\circ$ бұрылады.
3-қадам. Тілдердің арасындағы бұрыш: $32^\circ - 24^\circ = 8^\circ$.
Жауабы: 8

Идея: Тіктөртбұрыштың ауданы $=$ ұзындық $\cdot$ ен. Ұзындық пен ен белгілі бір сандарға көбейеді, сондықтан аудан сол сандардың көбейтіндісіне көбейеді. Проценттерді жай қосып-азайтуға болмайды!
1-қадам. Ұзындығы $20\%$-ға артты: ол $100\% + 20\% = 120\%$-ға тең болды, яғни санына көбейді. 2-қадам. Ені -ға кеміді: қалды, яғни ол санына көбейді. 3-қадам. Аудан санына көбейеді. 4-қадам. — бұл , яғни аудан бұрынғысының -ы болды: -ға кеміді. Тексеру: қабырғалары және болса, аудан . Жаңа қабырғалар және : , бұл -ның -ы. (Қате жол: деп есептеу.) -ға кемиді

Идея: жұмысты «үлестермен» өлшейміз: бір жұмысшы бір күнде $1$ үлес жұмыс істейді. Сонда жұмыс көлемі = жұмысшы саны × күн саны.
1-қадам. Бүкіл жұмыс: $9 \cdot 11 = 99$ үлес, себебі $9$ жұмысшының әрқайсысы $11$ күн бойы күніне $1$ үлестен орындайды.
2-қадам. Алғашқы $6$ күнде $9$ жұмысшы $9 \cdot 6 = 54$ үлес орындады. Қалған жұмыс: $99 - 54 = 45$ үлес.
3-қадам. Енді жұмысшылар $9 + 6 = 15$, олар күніне $15$ үлес орындайды. Қалған жұмысқа $45 : 15 = 3$ күн кетеді.
4-қадам. Барлығы: $6 + 3 = 9$ күн (алғашқы $6$ күнді қосуды ұмытпаңдар!).
Тексеру: $9 \cdot 6 + 15 \cdot 3 = 54 + 45 = 99$
Жауабы: 9

Идея: соманы $10\%$-ға арттыру — оны $1{,}1$-ге көбейту деген сөз (себебі $100\% + 10\% = 110\% = 1{,}1$). Әр жыл сайын сома тағы да $1{,}1$-ге көбейеді.
1-қадам. Бастапқы соманы $X$ деп белгілейік ($X$ — салынған ақша).
2-қадам. $2$ жылда сома екі рет $1{,}1$-ге көбейеді: $X \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = X \cdot 1{,}21$.
3-қадам. Өсім — соңғы сома мен бастапқы соманың айырмасы: $X \cdot 1{,}21 - X = X \cdot 0{,}21$. Шарт бойынша бұл $45150$ теңге.
4-қадам. $X \cdot 0{,}21 = 45150$, демек $X = 45150 : 0{,}21 = 215000$ теңге.
Тексеру: жыл сайынғы сома $215000 \to 236500 \to 260150$, ал $260150 - 215000 = 45150$.
Жауабы: 215000

Идея: араластырғанда таза қышқылдың массасы өзгермейді: бірінші ерітіндідегі қышқыл + қосылған ерітіндідегі қышқыл = қоспадағы қышқыл.
1-қадам. Қосылатын ерітіндінің массасы $x$ г болсын. Сонда қоспаның массасы $(400 + x)$ г.
2-қадам. Қышқылдың массасын табамыз ($35\%$ дегеніміз — бүкіл массаның $0{,}35$ бөлігі): бірінші ерітіндіде $0{,}35 \cdot 400$ г, қосылған ерітіндіде $0{,}5x$ г, қоспада $0{,}45(400 + x)$ г. Теңдеу: $0{,}35 \cdot 400 + 0{,}5x = 0{,}45(400 + x)$.
3-қадам. Ондық бөлшектерден құтылу үшін екі жағын $100$-ге көбейтеміз: $400 \cdot 35 + 50x = 45(400 + x)$, жақшаны ашсақ: $14000 + 50x = 18000 + 45x$.
4-қадам. $x$ бар мүшелерді бір жаққа, сандарды екінші жаққа жинаймыз: $5x = 4000$, $x = 4000 : 5 = 800$ г.
Тексеру: қышқыл $0{,}35 \cdot 400 + 0{,}5 \cdot 800 = 140 + 400 = 540$ г, қоспада $0{,}45 \cdot 1200 = 540$ г — тең.
Жауабы: 800

Идея: «$3$, $4$, $9$ сандарына кері пропорционал» дегеніміз — бөліктер $\dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{4} : \dfrac{1}{9}$ қатынасындай (сан үлкен болса, бөлік кіші). Қатынасты бүтін сандармен жазып, «бір үлесті» табамыз.
1-қадам. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз ($36$ — $3$, $4$, $9$ сандарының ЕКОЕ-сі, яғни ең кіші ортақ еселігі): $\dfrac{1}{3} = \dfrac{12}{36},\ \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{36},\ \dfrac{1}{9} = \dfrac{4}{36}$. Демек бөліктер $12 : 9 : 4$ қатынасындай.
2-қадам. Бөліктерді $12k$, $9k$, $4k$ деп белгілейік, мұндағы $k$ — бір үлес.
3-қадам. Ең үлкен бөлік пен ең кіші бөліктің айырмасы $12k - 4k = 8k$. Ол $96$ болғандықтан, $k = 96 : 8 = 12$.
4-қадам. Бөлінген сан — үш бөліктің қосындысы: $(12 + 9 + 4) \cdot 12 = 25 \cdot 12 = 300$.
Тексеру: бөліктер $144,\ 108,\ 48$: $144 + 108 + 48 = 300$, $144 - 48 = 96$, $144 \cdot 3 = 108 \cdot 4 = 48 \cdot 9 = 432$ — кері пропорционалдық орындалады.
Жауабы: 300

Идея: периметр — фигураның шекарасының ұзындығы. Шекараны бөліктерге бөліп, әр бөлікті жеке есептейміз. Шеңбердің ұзындығы $C = \pi d$, мұндағы $d$ — диаметр. Суреттегі үзік сызықтар шекараға кірмейді.
1-қадам. Жоғарғы қабырға: $12$ см.
2-қадам. Төменгі қабырғаның ортасынан $3$ см ойық кесілген, қалған екі бөлігі бірге: $12 - 3 = 9$ см. 3-қадам. Екі шеттегі жарты шеңберлердің диаметрі — тіктөртбұрыштың ені, см. Екі жарты шеңбер бірге бір толық шеңбер береді: см. 4-қадам. Ойықтың доғасы — диаметрі см шеңбердің жартысы: см. 5-қадам. Барлығын қосамыз: см.

Идея: сақинаның ауданы = үлкен дөңгелектің ауданы − кіші дөңгелектің ауданы. Ол үшін алдымен радиустарды шеңбер ұзындығы арқылы табамыз.
1-қадам. Шеңбер ұзындығы $C = 2\pi r$ ($r$ — радиус), мұнда $2\pi = 2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28$. Демек . 2-қадам. Үлкен шеңбердің радиусы: см, кіші шеңбердікі: см. 3-қадам. Дөңгелектің ауданы . Үлкен дөңгелек: см², кіші дөңгелек: см². 4-қадам. Сақинаның ауданы: см².

Идея: $Ox$ осіне қатысты симметрияда абсцисса ($x$) өзгермейді, ал ординатаның ($y$) таңбасы ауысады: $(x;\,y) \to (x;\,-y)$. Сонда — осіне қатысты симметриялы фигура; оны тіктөртбұрыш пен үшбұрыштарға бөлеміз. 1-қадам. Симметриялы нүктелер: , . 2-қадам. мен нүктелерінің абсциссасы бірдей, сондықтан кесіндісі тік, ұзындығы (әр нүкте осінен бірлік қашықтықта). Сол сияқты тік, ұзындығы . 3-қадам. Осы екі тік кесіндінің ара қашықтығы — абсциссалардың айырмасы: . 4-қадам. Фигураны бөлеміз: қабырғалары және тіктөртбұрыш ( — қысқа кесіндісінің ұзындығы) және осінен жоғары мен төмен катеттері және болатын екі бірдей тікбұрышты үшбұрыш. 5-қадам. Аудан = тіктөртбұрыш + екі үшбұрыш (тікбұрышты үшбұрыштың ауданы — катеттері көбейтіндісінің жартысы): см². 24

Идея: бөлшектерден құтылу үшін теңдеудің екі жағын бөлімдердің ЕКОЕ-сіне (ең кіші ортақ еселігіне) көбейтеміз, сосын жай сызықтық теңдеуді шешеміз.
1-қадам. $6$ мен $2$ сандарының ЕКОЕ-сі $6$. Екі жағын $6$-ға көбейтеміз ($6 : 6 = 1,\ 6 : 2 = 3$): . 2-қадам. Жақшаларды ашамыз. Минус алдындағы жақшаны ашқанда ішіндегі таңбалар өзгереді: . 3-қадам. бар мүшелерді біріктіреміз (), ал сандарды оң жаққа таңбасын өзгертіп шығарамыз: . 4-қадам. Енді . Тексеру: 43

Идея: алдымен «барлық жауап дұрыс» деп есептейміз, сосын әр қате жауап ұпайды қаншаға азайтатынын анықтаймыз.
1-қадам. Арман $40 - 4 = 36$ сұраққа жауап берді.
2-қадам. Егер бәрі дұрыс болса, ол $5 \cdot 36 = 180$ ұпай жинар еді.
3-қадам. Бір дұрыс жауаптың орнына қате жауап болса, ұпай $5 + 1 = 6$ ұпайға кемиді, себебі $5$ ұпай берілмейді әрі тағы $1$ ұпай шегеріледі.
4-қадам. Арманның ұпайы «бәрі дұрыс» жағдайдан $180 - 138 = 42$ ұпайға кем. Демек қате жауаптар саны: $42 : 6 = 7$.
5-қадам. Дұрыс жауаптар саны: $36 - 7 = 29$.
Тексеру: $5 \cdot 29 - 1 \cdot 7 = 145 - 7 = 138$
Жауабы: 29

Идея: бөлінген ақшадан міндетті шығындарды (автобус пен мұғалімдердің билеттері) шегереміз, сосын қалған ақшаға неше оқушы билеті сиятынын табамыз. Оқушы саны бүтін сан болуы керек.
1-қадам. Оқушы билеті $10\%$-ға арзан, яғни ересек билет бағасының $90\%$-ы: $4000 \cdot 0{,}9 = 3600$ теңге.
2-қадам. Автобус пен $2$ мұғалімнің билеті: теңге. 3-қадам. Оқушылардың билеттеріне қалатын ақша: теңге. 4-қадам. Оқушы саны болсын: . Бөлеміз: (қалдық ). 5-қадам. Демек оқушыға ақша жетеді (), ал оқушыға жетпейді (). 49

Идея: теріс санның жұп дәрежесі — оң сан, тақ дәрежесі — теріс сан. Алдымен дәрежелерді есептейміз, сосын көбейтеміз, ең соңында қосып-азайтамыз.
1-қадам. $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64$ (дәреже тақ, нәтиже теріс). 2-қадам. (дәреже жұп, нәтиже оң). 3-қадам. , себебі — тақ сан: санын жұп рет көбейтсек , тақ рет көбейтсек шығады. 4-қадам. ( — тақ сан, нәтиже теріс). 5-қадам. Орнына қоямыз: . Есте сақтаңдар: , ал .

Идея: алдымен өрнекті ықшамдаймыз (жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз) — сонда ондық бөлшектерді бір-ақ рет қоямыз.
1-қадам. Жақшаларды ашамыз. Жақша алдындағы санға ішіндегі әр мүшені көбейтеміз; минус алдындағы жақшаны ашқанда таңбалар өзгереді: $3x - 9y - 8x + 8y$.
2-қадам. Ұқсас мүшелерді (бірдей әріпті мүшелерді) біріктіреміз: $3x - 8x = -5x$, . Ықшамдалған өрнек: . 3-қадам. Мәндерді қоямыз: , . 4-қадам. Қосамыз: . 14

Идея: арифметикалық орта = сандардың қосындысы : сандар саны; медиана — сандарды өсу ретімен тізгенде дәл ортасында тұрған сан; мода — ең жиі кездесетін сан.
1-қадам. Қосынды: $12 + 15 + 1 + 9 + 1 + 5 + 13 + 1 + 15 = 72$. Арифметикалық орта: $72 : 9 = 8$.
2-қадам. Сандарды өсу ретімен жазамыз: $1; 1; 1; 5; \underline{9}; 12; 13; 15; 15$. Тоғыз санның ортасында 5-ші сан тұр (алдында $4$, артында $4$ сан), демек медиана $9$.
3-қадам. $1$ саны $3$ рет кездеседі, басқа сандар одан сирек кездеседі. Демек мода $1$.
4-қадам. Үш санның қосындысы: $8 + 9 + 1 = 18$.
Жауабы: 18

Идея: алдымен бір сыныптың орта есеппен жинағанын табамыз. Сосын айырманың осы орта мәннің неше пайызы екенін есептейміз: (айырма : орта мән) · 100%.
1-қадам. Диаграммадан (тор сызықтары $10$ кг сайын): 6А — $70$ кг, 6Б — $30$ кг, 6В — $70$ кг, 6Г — $60$ кг, 6Д — $50$ кг.
2-қадам. Орта есеппен: $(70 + 30 + 70 + 60 + 50) : 5 = 280 : 5 = 56$ кг.
3-қадам. 6В сыныбы орташадан $70 - 56 = 14$ кг артық жинады.
4-қадам. Пайызды орта мәннен (салыстырып отырған саннан) есептейміз: $14 : 56 \cdot 100\% = \dfrac{14}{56} \cdot 100\% = 25\%$.
Тексеру: $56$ кг-ның $25\%$-ы — $56 \cdot 0{,}25 = 14$ кг, $56 + 14 = 70$ кг.
Жауабы: 25

Идея: пайда = түскен ақша − жұмсалған ақша. Бағаларды пайызбен табамыз: $40\%$-ға қымбат — бағаның $140\%$-ы, $15\%$-ға арзан — $85\%$-ы.
1-қадам. Сату бағасы: $8000 \cdot 1{,}4 = 11200$ теңге. 2-қадам. Жеңілдік сату бағасынан есептеледі: теңге. 3-қадам. Жеңілдікпен куртка сатылды. Түскен ақша: теңге. 4-қадам. Жұмсалған ақша (сатып алу): теңге. 5-қадам. Пайда: теңге. 137840

Идея: орташа жылдамдық = бүкіл жол : бүкіл уақыт. Жылдамдықтардың арифметикалық ортасын алуға болмайды, себебі автокөлік әр бөлікте әртүрлі уақыт жүрді.
1-қадам. Жолдың үштен бірін $100$ км деп алайық ($100$ — $25$, $100$, $20$ сандарына бөлінетін ең кіші сан, яғни ЕКОЕ; жауап жолдың ұзындығына тәуелді емес).
2-қадам. Әр бөліктегі уақыт (уақыт = жол : жылдамдық): $100 : 25 = 4,\ 100 : 100 = 1,\ 100 : 20 = 5$ сағ.
3-қадам. Бүкіл уақыт: $4 + 1 + 5 = 10$ сағ. Бүкіл жол: $3 \cdot 100 = 300$ км.
4-қадам. Орташа жылдамдық: $300 : 10 = 30$ км/сағ.
5-қадам. Салыстыру үшін: жылдамдықтардың арифметикалық ортасы $(25 + 100 + 20) : 3 = 48\dfrac{1}{3}$ км/сағ болар еді — бұл қате жауап.
Жауабы: 30

Идея: бүкіл жұмысты $1$ деп аламыз. Жұмысты $10$ күнде бітіретін шебер бір күнде оның $\dfrac{1}{10}$ бөлігін орындайды.
1-қадам. Бір күнде бірінші шебер $\dfrac{1}{10}$, екіншісі $\dfrac{1}{20}$ бөлігін орындайды. Бірге: $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{2}{20} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{3}{20}$ бөлігі.
2-қадам. $3$ күнде бірге: $3 \cdot \dfrac{3}{20} = \dfrac{9}{20}$ бөлігі.
3-қадам. Қалған жұмыс: $1 - \dfrac{9}{20} = \dfrac{11}{20}$.
4-қадам. Оны екінші шебер жалғыз істеді, күніне $\dfrac{1}{20}$ бөлігін орындап: $\dfrac{11}{20} : \dfrac{1}{20} = \dfrac{11}{20} \cdot 20 = 11$ күн.
5-қадам. Барлығы: $3 + 11 = 14$ күн.
Тексеру: $\dfrac{9}{20} + 11 \cdot \dfrac{1}{20} = \dfrac{9}{20} + \dfrac{11}{20} = 1$
Жауабы: 14

Идея: апта күндері әр $7$ күн сайын қайталанады. Сондықтан екі күннің арасындағы күн санын $7$-ге бөліп, тек қалдығын санау жеткілікті.
1-қадам. $6$ шілдеден кейін шілденің соңына дейін: $31 - 6 = 25$ күн.
2-қадам. Толық айлар: тамыз — $31$, қыркүйек — $30$ күн.
3-қадам. Қазанның басынан $14$ қазанға дейін: $14$ күн. Барлығы: $25 + 31 + 30 + 14 = 100$ күн.
4-қадам. $100 = 7 \cdot 14 + 2$: $14$ толық апта өтеді (олардан кейін апта күні өзгермейді), тағы $2$ күн қалады.
5-қадам. Жексенбі күнінен бастап $2$ күн алға санаймыз: жексенбі → дүйсенбі → сейсенбі.
Жауабы: сейсенбі