2.9. Ең кіші ортақ еселік

Ортақ еселік — берілген сандардың әрқайсысына қалдықсыз бөлінетін сан. Мысалы, $12, 24, 36, \ldots$ сандары $4$-ке де, $6$-ға да бөлінеді — бұлар $4$ пен $6$-ның ортақ еселіктері.

Суреттегі сан сәулесінде үстінде — $4$-тің еселіктеріне (көк), астында — $6$-ның еселіктеріне (сары) секірістер. Екеуі алғаш рет $12$-де кездеседі, сосын $24$, $36$-да (қызыл).

Ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) — берілген натурал сандардың әрқайсысына бөлінетін ең кіші натурал сан. Жазылуы: ЕКОЕ$(4, 6) = 12$. Кез келген ортақ еселік ЕКОЕ-ге бөлінеді: $4$ пен $6$-ның ортақ еселіктері — $12$-нің еселіктері.

ЕКОЕ табу тәсілдері мен ережелер:

1. Еселіктерді іріктеу. Ең үлкен санның еселіктерін кезекпен жазып, қалған сандарға бөлінетін біріншісін аламыз.

2. Жай көбейткіштерге жіктеу. Сандарды жіктеп, ең үлкен санның жіктелуін аламыз да, оны басқа сандарда бар, бірақ онда жоқ көбейткіштермен толықтырамыз. Басқаша айтқанда, әр жай көбейткішті ең үлкен дәрежесімен аламыз.

3. Егер сандар өзара жай болса, ЕКОЕ — олардың көбейтіндісі: ЕКОЕ$(4, 9) = 36$.

4. Егер үлкен сан қалғандарына бөлінсе, ЕКОЕ — сол үлкен сан: ЕКОЕ$(7, 21) = 21$.

5. Екі сан үшін: ЕҮОБ$$ ЕКОЕ. Мысалы, .

Мысал 1: ЕКОЕ$(10, 15)$. Е$(15) = \{15, 30, 45, \ldots\}$; $15$ саны $10$-ға бөлінбейді, . Демек, ЕКОЕ.

Мысал 2: ЕКОЕ$(60, 72)$. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Ең үлкен дәрежелер: , , . ЕКОЕ .

Суретте $60$ пен $72$-нің жай көбейткіштері; ЕКОЕ — екі дөңгелектегі барлық сандардың (ортақтарын бір рет алып) көбейтіндісі: $5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 360$.

Мысал 3: Екі автобус аялдамадан $15$ және $20$ минут сайын шығады. Сағат $8$-де бірге шықса, келесі рет ЕКОЕ$(15, 20) = 60$ минуттан кейін, яғни сағат $9$-да бірге шығады.

Мәтінді есептерде «ең кемі», «алғаш рет қайта», «бірге кездеседі» деген сөздер көбіне ЕКОЕ керек екенін білдіреді.

Жиі қате: ЕКОЕ мен ЕҮОБ-ті шатастыру. ЕҮОБ берілген сандардан үлкен емес, ал ЕКОЕ олардан кіші емес. Тағы бір қате — ортақ көбейткішті екі рет алу: ЕКОЕ$(6, 9) \ne 6 \cdot 9 = 54$, ол $18$-ге тең.