2.9. Наименьшее общее кратное

Общее кратное — число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел. Например, числа $12, 24, 36, \ldots$ делятся и на $4$, и на $6$ — это общие кратные $4$ и $6$.

На числовом луче на рисунке сверху — прыжки по кратным $4$ (синие), снизу — по кратным $6$ (жёлтые). Впервые они встречаются в $12$, затем в $24$, $36$ (красные).

Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел. Запись: НОК$(4, 6) = 12$. Любое общее кратное делится на НОК: общие кратные $4$ и $6$ — это кратные $12$.

Способы нахождения НОК и правила:

1. Перебор кратных. Выписываем по порядку кратные наибольшего числа и берём первое, которое делится на остальные числа.

2. Разложение на простые множители. Раскладываем числа, берём разложение наибольшего из них и дополняем его множителями, которые есть в других числах, но нет в нём. Иначе говоря, каждый простой множитель берём с наибольшим показателем.

3. Если числа взаимно простые, НОК — их произведение: НОК$(4, 9) = 36$.

4. Если большее число делится на остальные, НОК — это большее число: НОК$(7, 21) = 21$.

5. Для двух чисел: НОД$$ НОК. Например, .

Пример 1: НОК$(10, 15)$. К$(15) = \{15, 30, 45, \ldots\}$; $15$ на $10$ не делится, . Значит, НОК.

Пример 2: НОК$(60, 72)$. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Наибольшие степени: , , . НОК .

На рисунке простые множители чисел $60$ и $72$; НОК — произведение всех чисел из двух кругов (общие берём один раз): $5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 360$.

Пример 3: Два автобуса отправляются с остановки каждые $15$ и $20$ минут. Если в $8$ часов они отправились вместе, то в следующий раз — через НОК$(15, 20) = 60$ минут, то есть в $9$ часов.

В текстовых задачах слова «наименьшее», «впервые снова», «встретятся вместе» чаще всего означают, что нужен НОК.

Частая ошибка: путать НОК и НОД. НОД не больше данных чисел, а НОК не меньше их. Ещё одна ошибка — брать общий множитель дважды: НОК$(6, 9) \ne 6 \cdot 9 = 54$, он равен $18$.