3.2. Жай бөлшектің негізгі қасиеті. Жай бөлшекті қысқарту

Бөлшектің негізгі қасиеті. Бөлшектің алымын да, бөлімін де бірдей натурал санға көбейтсе немесе бөлсе, берілген бөлшекке тең бөлшек шығады: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot n}{b \cdot n}$ және $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : n}{b : n}$, мұндағы $a$, $b$, $n$ — натурал сандар.

Тең бөлшектер — бір санның әртүрлі жазылуы. Мысалы, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{50}{100}$: бөліктер саны көбейгенде, әр бөлік кішірейеді, ал алынған үлес өзгермейді.

Суретте ұзындығы бірдей жолақтар $2$, $4$, $10$ және $100$ тең бөлікке бөлінген; боялған бөлігі — $\dfrac{1}{2}$, , , — бәрінде бірдей.

Бөлшекті қысқарту — бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың $1$-ден өзге ортақ бөлгішіне бөлу. Қысқартылмайтын бөлшек — алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшек, мысалы $\dfrac{4}{9}$.

Ережелер:

1. Белгісіз алымды (бөлімді) табу үшін бөлімнің (алымның) неше есе өзгергенін табамыз да, екінші мүшесін де сонша есе өзгертеміз.

2. Бөлшекті қысқартуға болатын ең үлкен сан — алымы мен бөлімінің ЕҮОБ-і. ЕҮОБ-ке бөлсек, бірден қысқартылмайтын бөлшек шығады.

3. Қысқартудың тәсілдері: ЕҮОБ-ке бөлу; бөлінгіштік белгілері бойынша біртіндеп қысқарту; алымы мен бөлімін жай көбейткіштерге жіктеп, ортақ көбейткіштерді сызу.

Мысал 1: $\dfrac{5}{6} = \dfrac{x}{42}$. Бөлім $42 : 6 = 7$ есе өскен, онда .

Суретте төменгі жолақтың әр алтыншы бөлігі $7$ тең бөлікке бөлінген: $\dfrac{5}{6}$ боялған бөлік $\dfrac{35}{42}$-ге тең.

Мысал 2: $\dfrac{72}{120}$. ЕҮОБ$(72, 120) = 24$, ${\displaystyle \frac{72}{120}}={\displaystyle \frac{72:24}{120:}}$. Біртіндеп те болады: -ге бөлсек , сосын -ге бөлсек .

Мысал 3: $\dfrac{10 \cdot 21}{14 \cdot 25} = \dfrac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7}{2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 5} = \dfrac{3}{5}$ — ортақ көбейткіштер , , сызылды. Көбейтінділерді алдын ала есептеудің қажеті жоқ.

Жиі қате: алымы мен бөліміне бірдей санды қосу немесе азайту бөлшекті өзгертеді: $\dfrac{1}{2} \ne \dfrac{1 + 1}{2 + 1}$. Сондай-ақ тек қысқартуға болады, қосылғыштарды емес: , ал емес.