3.2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится дробь, равная данной: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot n}{b \cdot n}$ и $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : n}{b : n}$, где $a$, $b$, $n$ — натуральные числа.

Равные дроби — разные записи одного и того же числа. Например, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{50}{100}$: долей становится больше, каждая доля мельче, а взятая часть не меняется.

На рисунке полоски одинаковой длины разделены на $2$, $4$, $10$ и $100$ равных частей; закрашенная часть — $\dfrac{1}{2}$, , , — у всех одинакова.

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от $1$. Несократимая дробь — дробь, у которой числитель и знаменатель — взаимно простые числа, например $\dfrac{4}{9}$.

Правила:

1. Чтобы найти неизвестный числитель (знаменатель), находим, во сколько раз изменился знаменатель (числитель), и изменяем второй член дроби во столько же раз.

2. Наибольшее число, на которое можно сократить дробь, — НОД числителя и знаменателя. Сократив на НОД, сразу получаем несократимую дробь.

3. Способы сокращения: деление на НОД; последовательное сокращение по признакам делимости; разложение числителя и знаменателя на простые множители и вычёркивание общих множителей.

Пример 1: $\dfrac{5}{6} = \dfrac{x}{42}$. Знаменатель увеличился в $42 : 6 = 7$ раз, значит, .

На рисунке у нижней полоски каждая шестая часть разделена на $7$ равных частей: закрашенная часть $\dfrac{5}{6}$ равна $\dfrac{35}{42}$.

Пример 2: $\dfrac{72}{120}$. НОД$(72, 120) = 24$, ${\displaystyle \frac{72}{120}}={\displaystyle \frac{72:24}{120:}}$. Можно и по шагам: разделив на , получим , затем на — .

Пример 3: $\dfrac{10 \cdot 21}{14 \cdot 25} = \dfrac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7}{2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 5} = \dfrac{3}{5}$ — вычеркнули общие множители , , . Вычислять произведения заранее не нужно.

Частая ошибка: если к числителю и знаменателю прибавить или от них отнять одно и то же число, дробь изменится: $\dfrac{1}{2} \ne \dfrac{1 + 1}{2 + 1}$. Сокращать можно только , а не слагаемые: , а не .