4.12. Бөлшектерден тұратын сандар тізбектері

Сандар тізбегі — белгілі бір заңдылықпен ретімен жазылған сандар. Тізбектің мүшелері бөлшек сандар — жай бөлшектер, аралас сандар немесе ондық бөлшектер болуы мүмкін. Мүшелер нөмірімен белгіленеді: $a_1$ — бірінші мүше, $a_2$ — екінші мүше, …, $a_n$ — $n$-ші мүше.

Заңдылықты табу реті:

1. көрші мүшелердің айырмасын табамыз (жай бөлшектерді алдымен ортақ бөлімге келтіреміз); айырма бірдей болса, әр мүше алдыңғысынан сонша артық (немесе кем);

2. айырмалар әртүрлі болса, бөліндісін тексереміз: әр мүше алдыңғысын бір санға көбейтіп немесе бөліп алынуы мүмкін;

3. жай бөлшектерде алымдар мен бөлімдерді бөлек қарастырамыз — олар мүшенің нөмірімен байланысты болуы мүмкін;

4. табылған заңдылықты бірнеше мүшеде тексереміз.

Мысал 1: $0{,}4;\ 0{,}7;\ 1;\ 1{,}3;\ \ldots$ Айырма тұрақты: $0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}3$, келесі мүшелер және . -ге жету үшін бірінші мүшеге саны рет қосылады: .

Суретте осы тізбектің мүшелері координаталық сәуледе белгіленген: әр секіріс $0{,}3$-ке тең.

$n$-ші мүшенің формуласы кез келген мүшені бірден табуға мүмкіндік береді: $n$-нің орнына мүшенің нөмірін қоямыз. Мысал 2: $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{2}{3};\ \dfrac{3}{4};\ \ldots$ — алымы мүшенің нөміріне, бөлімі нөмірден -ге артық санға тең: , сондықтан .

Қосынды. Әр мүше алдыңғысынан бірдей санға артық болса, шеткі мүшелерді жұптап қосамыз: $0{,}2 + 0{,}4 + \ldots + 1{,}8 + 2 = (0{,}2 + 2) \cdot 5 = 11$ ( қосылғыш — жұп).

Мысал 3: $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{4};\ \dfrac{1}{8};\ \dfrac{1}{16};\ \ldots$ — әр мүше алдыңғысын -ге бөлгенге тең. Алғашқы төрт мүшенің қосындысы: . Суретте шаршының , , , бөліктері боялған; боялмаған бөлігі , сондықтан қосынды .

Жиі қате: $n$-ші мүшені тапқанда қадамды $n$ рет қосу (дұрысы — $n - 1$ рет); бөлімдері әртүрлі бөлшектердің айырмасын тек алымдармен есептеу; ондық бөлшектерде разрядтарды теңестірмеу: $0{,}9 + 0{,}3 = 1{,}2$, ал емес.