4.12. Числовые последовательности из дробей

Числовая последовательность — числа, записанные по порядку по определённой закономерности. Членами последовательности могут быть дробные числа — обыкновенные дроби, смешанные числа или десятичные дроби. Члены обозначают по номерам: $a_1$ — первый член, $a_2$ — второй член, …, $a_n$ — $n$-й член.

Как найти закономерность:

1. находим разность соседних членов (обыкновенные дроби сначала приводим к общему знаменателю); если разность одна и та же, каждый член на столько же больше (или меньше) предыдущего;

2. если разности разные, проверяем частные: каждый член может получаться умножением или делением предыдущего на одно и то же число;

3. у обыкновенных дробей рассматриваем числители и знаменатели отдельно — они могут быть связаны с номером члена;

4. найденную закономерность проверяем на нескольких членах.

Пример 1: $0{,}4;\ 0{,}7;\ 1;\ 1{,}3;\ \ldots$ Разность постоянна: $0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}3$, следующие члены и . Чтобы дойти до , к первому члену прибавляют ровно раз: .

На рисунке члены этой последовательности отмечены на координатном луче: каждый скачок равен $0{,}3$.

Формула $n$-го члена позволяет сразу найти любой член: подставляем вместо $n$ номер члена. Пример 2: $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{2}{3};\ \dfrac{3}{4};\ \ldots$ — числитель равен номеру члена, знаменатель на больше номера: , поэтому .

Сумма. Если каждый член больше предыдущего на одно и то же число, складываем крайние члены парами: $0{,}2 + 0{,}4 + \ldots + 1{,}8 + 2 = (0{,}2 + 2) \cdot 5 = 11$ ( слагаемых — пар).

Пример 3: $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{4};\ \dfrac{1}{8};\ \dfrac{1}{16};\ \ldots$ — каждый член равен предыдущему, делённому на . Сумма первых четырёх членов: . На рисунке закрашены , , , квадрата; незакрашенная часть равна , поэтому сумма .

Частая ошибка: при нахождении $n$-го члена прибавлять шаг $n$ раз (правильно — $n - 1$ раз); вычислять разность дробей с разными знаменателями только по числителям; не выравнивать разряды в десятичных дробях: $0{,}9 + 0{,}3 = 1{,}2$, а не .