5.1. Жиын. Жиынның элементтері. Жиындарды кескіндеу

Белгілі бір ортақ қасиеті бар заттардың, сандардың, объектілердің жиынтығы жиын деп аталады. Жиынды құрайтын объектілер — оның элементтері. Мысалы: сыныптағы оқушылар жиыны, жұп сандар жиыны, сөздегі әріптер жиыны.

Жазылуы мен белгілеулер:

1. Жиын латынның бас әрпімен ($A$, $B$, $C$, …) белгіленеді, элементтері фигуралық жақшаның ішіне жазылады: $A = \{2; 5; 9\}$. Элементтердің реті маңызды емес: $\{2; 5; 9\}$ мен $\{9; 2; 5\}$ — бір жиын. Әр элемент бір рет қана жазылады.

2. $a \in A$ — «$a$ элементі $A$ жиынына тиісті», $c \notin A$ — «$$ элементі жиынына тиісті емес». Натурал сандар жиыны әрпімен белгіленеді: , , .

3. $n(A)$ — $A$ жиынының элементтер саны. Бірде-бір элементі жоқ жиын — бос жиын, белгіленуі $\varnothing$. Элементтер саны белгілі бір натурал санмен өрнектелетін жиын (бос жиын да) — шектеулі, ал элементтері таусылмайтын жиын ($N$, жұп сандар жиыны) — шектеусіз жиын.

4. Жиын екі тәсілмен беріледі: элементтерін тізіп ($C = \{1; 3; 5; 7; 9\}$) немесе элементтеріне тән қасиетті көрсетіп ($D = \{x \mid x \in N,\ x < 5\}$, яғни ).

5. Эйлер–Венн диаграммасы: жиын дөңгелекпен кескінделеді; жиынға тиісті элементтер — дөңгелектің ішіндегі нүктелер, тиісті еместері — сыртындағы нүктелер.

1-мысал: «қазақстан» сөзіндегі әріптер жиыны: $P = \{\text{қ}; \text{а}; \text{з}; \text{с}; \text{т}; \text{н}\}$. Сөзде $9$ әріп болса да, қайталанатын «а» мен «қ» бір реттен жазылады, сондықтан $n($.

2-мысал: $B$ — $18$ санының бөлгіштері жиыны: $B = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$, $n(B$. Мұнда , ал , .

Суретте $B$ жиыны Эйлер–Венн дөңгелегімен кескінделген: $6$ элемент дөңгелектің ішінде, ал $4$ пен $12$ — сыртында.

3-мысал: $1$-ден кіші натурал сандар жиыны — бос жиын, себебі ең кіші натурал сан — $1$.

Жиі қателер: қайталанған элементті екі рет санау («қазақстан» үшін $n(P) = 9$ деп жазу); $\in$ мен $\notin$ белгілерін шатастыру немесе $A \in 5$ деп кері жазу; жиынын бос жиын деп ойлау — онда бір элемент бар, .