5.1. Множество. Элементы множества. Изображение множеств

Совокупность предметов, чисел, объектов, объединённых общим свойством, называется множеством. Объекты, из которых состоит множество, — его элементы. Например: множество учеников класса, множество чётных чисел, множество букв слова.

Запись и обозначения:

1. Множества обозначают заглавными латинскими буквами ($A$, $B$, $C$, …), элементы записывают в фигурных скобках: $A = \{2; 5; 9\}$. Порядок элементов не важен: $\{2; 5; 9\}$ и $\{9; 2; 5\}$ — одно и то же множество. Каждый элемент записывается только один раз.

2. $a \in A$ — «элемент $a$ принадлежит множеству $A$», $c \notin A$ — «элемент $$ не принадлежит множеству ». Множество натуральных чисел обозначают буквой : , , .

3. $n(A)$ — число элементов множества $A$. Множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество, обозначение $\varnothing$. Множество, число элементов которого выражается определённым числом (в том числе пустое), — конечное, а множество, элементы которого никогда не заканчиваются ($N$, множество чётных чисел), — бесконечное.

4. Множество задают двумя способами: перечислением элементов ($C = \{1; 3; 5; 7; 9\}$) или указанием характеристического свойства ($D = \{x \mid x \in N,\ x < 5\}$, то есть ).

5. Диаграмма Эйлера–Венна: множество изображают кругом; элементы множества — точки внутри круга, не принадлежащие ему элементы — точки снаружи.

Пример 1: множество букв слова «қазақстан»: $P = \{\text{қ}; \text{а}; \text{з}; \text{с}; \text{т}; \text{н}\}$. Хотя в слове $9$ букв, повторяющиеся «а» и «қ» записываются по одному разу, поэтому $n($.

Пример 2: $B$ — множество делителей числа $18$: $B = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$, $n(B$. Здесь , а , .

На рисунке множество $B$ изображено кругом Эйлера–Венна: $6$ элементов внутри круга, а $4$ и $12$ — снаружи.

Пример 3: множество натуральных чисел, меньших $1$, — пустое, так как наименьшее натуральное число — $1$.

Частые ошибки: считать повторяющийся элемент дважды (для «қазақстан» писать $n(P) = 9$); путать знаки $\in$ и $\notin$ или писать наоборот $A \in 5$; считать множество пустым — в нём один элемент, .