5.4. Жиындарға есептер

Көп мәтінді есептерде объектілер бірнеше топқа бөлінеді, ал кейбір объектілер бір мезгілде екі не үш топқа кіреді. Мұндай есептерді Эйлер–Венн диаграммасымен шығару ыңғайлы: әр топ — бір дөңгелек (жиын), барлық объектілер — тіктөртбұрыш. $n(A)$ — $A$ жиынының элементтер саны.

Екі дөңгелек тіктөртбұрышты төрт бөлікке бөледі: тек $A$, тек $B$, ортақ бөлік $A \cap B$ және дөңгелектерден тыс бөлік. Әр объект дәл бір бөлікте тұрады.

Ережелер:

1. Бірігудің элементтер саны: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — қосындыда ортақ элементтер екі рет саналады, сондықтан оларды бір рет аламыз.

1-мысал: сыныпта $28$ оқушы, $16$-сы ән үйірмесіне, $11$-і би үйірмесіне барады, $6$ оқушы екеуіне де барады. Кем дегенде біреуіне: $16 + 11 - 6 = 21$ оқушы, ешқайсысына бармайтындар: оқушы.

Суретте осы сынып: тек ән — $16 - 6 = 10$, екеуі — $6$, тек би — $11 - 6 = 5$, тыс — $7$; .

2-мысал: $n(A) = 12$, $n(B) = 10$, $n(C) = 9$, , , , үшеуіне ортақ — . Ортасы ; тек екеуіне: , , ; тек : , тек : , тек : . Барлығы: .

Суретте осы жеті бөліктің сандары жазылған.

Жиі қателер: ортақ бөлікті екі рет санау ($n(A) + n(B)$-ны бірігу деп алу); «тек $A$» мен «$A$»-ны шатастыру; дөңгелектерден тыс тұрғандарды ұмыту; үш жиында $n(A \cap B)$-ның ішінде ортасы да бар екенін ескермеу.