5.4. Задачи на множества

Во многих текстовых задачах объекты разбиты на несколько групп, а некоторые объекты входят сразу в две или три группы. Такие задачи удобно решать с помощью диаграммы Эйлера–Венна: каждая группа — круг (множество), все объекты — прямоугольник. $n(A)$ — число элементов множества $A$.

Два круга делят прямоугольник на четыре части: только $A$, только $B$, общая часть $A \cap B$ и часть вне кругов. Каждый объект находится ровно в одной части.

Правила:

1. Число элементов объединения: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — в сумме общие элементы посчитаны дважды, поэтому их один раз вычитаем.

Пример 1: в классе $28$ учеников, $16$ ходят в хоровой кружок, $11$ — в танцевальный, $6$ учеников — в оба. Хотя бы в один: $16 + 11 - 6 = 21$ ученик, ни в один: учеников.

На рисунке этот класс: только хор — $16 - 6 = 10$, оба — $6$, только танцы — $11 - 6 = 5$, вне кругов — $7$; .

Пример 2: $n(A) = 12$, $n(B) = 10$, $n(C) = 9$, , , , общих для всех трёх — . Середина ; только двух: , , ; только : , только : , только : . Всего: .

На рисунке записаны числа этих семи частей.

Частые ошибки: считать общую часть дважды (принимать $n(A) + n(B)$ за объединение); путать «только $A$» и «$A$»; забывать тех, кто вне кругов; для трёх множеств не учитывать, что в $n(A \cap B)$ входит и середина.