7.4. Көпбұрыштар

Көпбұрыш — іргелес кесінділері бір түзудің бойында жатпайтын, ал іргелес емес кесінділерінің ортақ нүктесі болмайтын тұйық сынық сызықпен шектелген фигура. Кесінділер — көпбұрыштың қабырғалары, олардың ұштары — төбелері, көршілес екі қабырға құрайтын бұрыштар — көпбұрыштың бұрыштары. Көпбұрышты төбелерін қатарымен оқып атайды: $ABCDE$.

Периметр — көпбұрыштың барлық қабырғалары ұзындықтарының қосындысы. Диагональ — көпбұрыштың көршілес емес екі төбесін қосатын кесінді.

Ережелер:

1. Кез келген көпбұрыштың төбелері, қабырғалары және бұрыштары саны бірдей. Қабырға санына қарай: үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш, алтыбұрыш т.с.с.

2. Көпбұрыштың кем дегенде $3$ қабырғасы болады. Үшбұрыштың бірде-бір диагоналы жоқ.

3. $n$-бұрыштың бір төбесінен $n - 3$ диагональ шығады (өзіне және екі көршісіне жүргізілмейді). Олар көпбұрышты $n - 2$ үшбұрышқа бөледі. Барлық диагональдар саны $\dfrac{n \cdot (n - 3)}{2}$: әр диагональ екі төбеден саналады.

4. Көршілес екі төбесі арқылы өтетін әрбір түзудің бір жағында жататын көпбұрыш дөңес деп аталады.

5. Бірін екіншісіне дәл беттестіруге болатын көпбұрыштар тең болады. Тең көпбұрыштардың сәйкес қабырғалары, периметрлері мен аудандары тең.

Мысал 1: $ABCDE$ бесбұрышында $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 4$ см, см, см. (см). төбесінен диагональ шығады: және . Бесбұрыштың барлық диагональдары: .

Суретте бесбұрыштың қабырғалары (см) және $A$ төбесінен шығатын диагональдар (қызыл үзік сызық) көрсетілген.

Мысал 2: $KLMNP$ — дөңес: $MN$ түзуі көпбұрышты қимайды. $RTXYZ$ дөңес емес: $XY$ түзуі көпбұрышты екі бөлікке бөледі.

Суретте сол жақта дөңес, оң жақта дөңес емес бесбұрыш берілген.

Мысал 3: Суреттегі алтыбұрыштың периметрі $7 + 3 + 3 + 2 + 4 + 5 = 24$ (см). Ауданын табу үшін оны үзік сызықпен екі тіктөртбұрышқа бөлеміз: $7 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 21 + 8 = 29$ (см²).

Суретте алтыбұрыштың қабырғалары (см) және екі тіктөртбұрыштың аудандары жазылған.

Жиі қате: барлық диагональдарды санағанда $n \cdot (n - 3)$-ті $2$-ге бөлмеу (алтыбұрышта $18$ емес, $9$ диагональ); көршілес төбелерді қосатын кесіндіні (қабырғаны) диагональ деп санау; көпбұрышты төбелерін ретсіз атау ($ABDC$ мен — әртүрлі төртбұрыштар).