7.4. Многоугольники

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной, у которой соседние звенья не лежат на одной прямой, а несоседние звенья не имеют общих точек. Звенья — стороны многоугольника, их концы — вершины, углы, образованные соседними сторонами, — углы многоугольника. Многоугольник называют, перечисляя вершины по порядку: $ABCDE$.

Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника. Диагональ — отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Правила:

1. У любого многоугольника число вершин, сторон и углов одинаково. По числу сторон: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник и т.д.

2. У многоугольника не меньше $3$ сторон. У треугольника нет ни одной диагонали.

3. Из одной вершины $n$-угольника выходит $n - 3$ диагонали (не проводятся к самой вершине и к двум соседним). Они делят многоугольник на $n - 2$ треугольника. Всего диагоналей $\dfrac{n \cdot (n - 3)}{2}$: каждая диагональ считается из двух вершин.

4. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

5. Многоугольники, которые можно совместить наложением, равны. У равных многоугольников равны соответствующие стороны, периметры и площади.

Пример 1: в пятиугольнике $ABCDE$: $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 4$ см, см, см. (см). Из вершины выходит диагонали: и . Всего диагоналей у пятиугольника: .

На рисунке указаны стороны пятиугольника (в см) и диагонали из вершины $A$ (красный пунктир).

Пример 2: $KLMNP$ — выпуклый: прямая $MN$ не пересекает многоугольник. $RTXYZ$ не выпуклый: прямая $XY$ делит его на две части.

На рисунке слева выпуклый, справа невыпуклый пятиугольник.

Пример 3: периметр шестиугольника на рисунке $7 + 3 + 3 + 2 + 4 + 5 = 24$ (см). Чтобы найти площадь, делим его пунктиром на два прямоугольника: $7 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 21 + 8 = 29$ (см²).

На рисунке указаны стороны шестиугольника (в см) и площади двух прямоугольников.

Частая ошибка: при подсчёте всех диагоналей не делить $n \cdot (n - 3)$ на $2$ (у шестиугольника $9$ диагоналей, а не $18$); считать диагональю отрезок, соединяющий соседние вершины (сторону); называть вершины не по порядку ($ABDC$ и — разные четырёхугольники).