1.9. Шеңбердің ұзындығы. Дөңгелектің ауданы. Шар. Сфера

$\pi$ саны. Кез келген шеңбердің ұзындығының оның диаметріне қатынасы — бірдей тұрақты сан. Оны $\pi$ («пи») деп белгілейді: $\pi = 3{,}14159\ldots$ — шектеусіз ондық бөлшек. Есептеулерде $\pi \approx 3{,}14$ немесе $\pi \approx \dfrac{22}{7}$ алынады (диаметр немесе радиус $7$-ге бөлінсе, $\dfrac{22}{7}$ ыңғайлы).

Шеңбердің ұзындығы ($C$ — ұзындық, $d$ — диаметр, $r$ — радиус, $d = 2r$):

1. $C = \pi d$ немесе $C = 2\pi r$. Шеңбердің ұзындығы диаметрге (радиусқа) тура пропорционал.

2. Ұзындық белгілі болса: $d = C : \pi$, .

Дөңгелектің ауданы: $S = \pi r^2$ — радиустың квадраты мен $\pi$-дің көбейтіндісі (шаршы бірліктермен).

4. Жарты дөңгелек — $\pi r^2 : 2$, ширек дөңгелек — $\pi r^2 : 4$. Жарты дөңгелектің шекарасы $=$ жарты шеңбер диаметр.

Шар мен сфера. Шар — кеңістіктегі тұтас дене (қарбыз, ядро), сфера — шардың беті (сабын көпіршігі, доп қабығы). Сфераның барлық нүктелері центрден бірдей қашықтықта жатады. Центрді бет нүктесімен қосатын кесінді — радиус, центр арқылы өтіп, беттің екі нүктесін қосатын кесінді — диаметр ($d = 2r$). Шарды центр арқылы өтетін жазықтықпен қисақ, радиусы шардың радиусына тең дөңгелек шығады; оның шекарасы — үлкен шеңбер (мысалы, глобустың экваторы).

Мысал 1: $d = 14$ см, $\pi \approx \dfrac{22}{7}$. $C = \dfrac{22}{7} \cdot 14 = 44$ см.

Суретте диаметрі $d = 14$ шеңберді түзу бойымен «жазсақ», ұзындығы $C = 44$ кесінді шығады — диаметрден шамамен $3{,}14$ есе ұзын.

Мысал 2: $r = 5$ м, $\pi \approx 3{,}14$. $S = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ м².

Суретте қабырғасы $r = 5$ шаршының ауданы $r^2 = 25$; дөңгелектің ауданы осындай шаршының шамамен $3{,}14$ еселігі: $78{,}5$.

Мысал 3: $C = 62{,}8$ см, $\pi \approx 3{,}14$. $r = 62{,}8 : 6{,}28 = 10$ см, см².

Жиі қате: аудан формуласына диаметрді қою (нәтиже $4$ есе артық), $2\pi r$ мен $\pi r^2$-ты шатастыру, сақина ауданын $\pi (R - r)^2$ деп есептеу.