1.9. Длина окружности. Площадь круга. Шар. Сфера

Число $\pi$. Отношение длины любой окружности к её диаметру — одно и то же постоянное число. Его обозначают $\pi$ («пи»): $\pi = 3{,}14159\ldots$ — бесконечная десятичная дробь. В вычислениях берут $\pi \approx 3{,}14$ или $\pi \approx \dfrac{22}{7}$ (если диаметр или радиус делится на $7$, удобно $\dfrac{22}{7}$).

Длина окружности ($C$ — длина, $d$ — диаметр, $r$ — радиус, $d = 2r$):

1. $C = \pi d$ или $C = 2\pi r$. Длина окружности прямо пропорциональна диаметру (радиусу).

2. Если длина известна: $d = C : \pi$, .

Площадь круга: $S = \pi r^2$ — произведение $\pi$ на квадрат радиуса (в квадратных единицах).

4. Полукруг — $\pi r^2 : 2$, четверть круга — $\pi r^2 : 4$. Граница полукруга $=$ полуокружность диаметр.

Шар и сфера. Шар — сплошное тело в пространстве (арбуз, ядро), сфера — поверхность шара (мыльный пузырь, оболочка мяча). Все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии от центра. Отрезок, соединяющий центр с точкой поверхности, — радиус; отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки поверхности, — диаметр ($d = 2r$). Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, — круг с радиусом шара; его граница — большая окружность (например, экватор глобуса).

Пример 1: $d = 14$ см, $\pi \approx \dfrac{22}{7}$. $C = \dfrac{22}{7} \cdot 14 = 44$ см.

На рисунке окружность диаметра $d = 14$ «развёрнута» вдоль прямой: получается отрезок длины $C = 44$ — примерно в $3{,}14$ раза длиннее диаметра.

Пример 2: $r = 5$ м, $\pi \approx 3{,}14$. $S = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ м².

На рисунке площадь квадрата со стороной $r = 5$ равна $r^2 = 25$; площадь круга примерно в $3{,}14$ раза больше: $78{,}5$.

Пример 3: $C = 62{,}8$ см, $\pi \approx 3{,}14$. $r = 62{,}8 : 6{,}28 = 10$ см, см².

Частая ошибка: подставлять в формулу площади диаметр (результат в $4$ раза больше), путать $2\pi r$ и $\pi r^2$, считать площадь кольца как $\pi (R - r)^2$.