10.1. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу — $ax + by + c = 0$ түріндегі теңдеу. Мұнда $x$ пен $y$ — айнымалылар, $a$, $b$, $c$ — берілген сандар. $a$ мен $b$ — коэффициенттер, $c$ — бос мүше. Мысалы, $3x + 2y - 12 = 0$ теңдеуінде $a = 3$, $b = 2$, $c = -12$.

Теңдеудің шешімі — теңдеуді тура санды теңдікке айналдыратын $x$ пен $y$ мәндерінің жұбы. Жұп жақшаға алынып жазылады: $(x; y)$ — бірінші орында әрқашан $x$-тің мәні, екінші орында $y$-тің мәні.

1. Қосылғышты қарама-қарсы таңбамен теңдеудің екінші жағына көшіргенде мәндес теңдеу шығады.

2. Теңдеудің екі жағын да нөлден өзге бір санға көбейтсек немесе бөлсек, мәндес теңдеу шығады. Мәндес теңдеулер — шешімдері бірдей теңдеулер.

3. Шешімдерін табу үшін бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектейміз де, $x$-ке кез келген мән беріп, сәйкес $y$-ті есептейміз. Сондықтан мұндай теңдеудің шешімі шексіз көп.

Мысал 1: $3x + 2y - 12 = 0$. $3x$ пен $-12$-ні оң жаққа көшіреміз: $2y = 12 - 3x$, екі жағын -ге бөлеміз: . Егер болса, ; болса, ; болса, ; болса, . Шешімдері: , , , және т.б.

Суретте осы шешімдердің кестесі: жоғарғы жолда $x$-тің мәндері, астында сәйкес $y$-тің мәндері.

Мысал 2: $(5; -1)$ жұбы $2x + 3y - 7 = 0$ теңдеуінің шешімі ме? $x = 5$, қоямыз: — тура теңдік, шешімі. Ал жұбы үшін: — шешімі емес. Сандардың орны маңызды!

Суретте $A(5; -1)$ және $B(-1; 5)$ нүктелері: координаталары бірдей сандардан тұрса да, бұл — әртүрлі жұптар.

Мысал 3: $2$ кг және $5$ кг қаптардан барлығы $23$ кг ұн жиналды. $x$ — $2$ кг-дық, $y$ — $5$ кг-дық қаптар саны: . болса, ; болса, ; мен болса, бүтін емес; болса, теріс. Жауабы: немесе . Мәтінді есепте пен натурал болуы керек, сондықтан шешімдер саны шектеулі.

Жиі қате: $x$ пен $y$-тің орнын ауыстырып тексеру; қосылғышты көшіргенде таңбасын өзгертпеу; екі жағын бөлгенде бос мүшені бөлмей қалдыру.