10.1. Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида $ax + by + c = 0$. Здесь $x$ и $y$ — переменные, $a$, $b$, $c$ — данные числа. $a$ и $b$ — коэффициенты, $c$ — свободный член. Например, в уравнении $3x + 2y - 12 = 0$: $a = 3$, $b = 2$, $c = -12$.

Решение уравнения — пара значений $x$ и $y$, обращающая уравнение в верное числовое равенство. Пару записывают в скобках: $(x; y)$ — на первом месте всегда значение $x$, на втором — значение $y$.

1. Если перенести слагаемое в другую часть уравнения с противоположным знаком, получится равносильное уравнение.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, получится равносильное уравнение. Равносильные уравнения — уравнения с одинаковыми решениями.

3. Чтобы найти решения, выражаем одну переменную через другую, придаём $x$ любое значение и вычисляем соответствующее $y$. Поэтому такое уравнение имеет бесконечно много решений.

Пример 1: $3x + 2y - 12 = 0$. Переносим $3x$ и $-12$ в правую часть: $2y = 12 - 3x$, делим обе части на : . Если , то ; если , то ; если , то ; если , то . Решения: , , , и т.д.

На рисунке таблица этих решений: в верхней строке значения $x$, под ними соответствующие значения $y$.

Пример 2: является ли пара $(5; -1)$ решением уравнения $2x + 3y - 7 = 0$? Подставляем $x = 5$, : — верное равенство, является. А для пары : — не является. Порядок чисел важен!

На рисунке точки $A(5; -1)$ и $B(-1; 5)$: хотя координаты состоят из одних и тех же чисел, это разные пары.

Пример 3: из мешков по $2$ кг и по $5$ кг собрали всего $23$ кг муки. $x$ — число мешков по $2$ кг, $y$ — по $5$ кг: . Если , то ; если , то ; при и значение не целое; при значение отрицательно. Ответ: или . В текстовой задаче и должны быть натуральными, поэтому решений конечное число.

Частая ошибка: при проверке путать местами $x$ и $y$; при переносе слагаемого не менять его знак; при делении обеих частей забывать разделить свободный член.