10.3. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер және олардың жүйелері

Екі айнымалысы бар бірнеше теңдеудің ортақ шешімін іздегенде, оларды фигуралық жақшамен біріктіріп жазамыз. Мұны екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі дейді: $\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Жүйенің шешімі — жүйедегі әр теңдеуді тура теңдікке айналдыратын $(x; y)$ сандар жұбы. Жүйені шешу — оның барлық шешімдерін табу немесе шешімі жоқ екенін дәлелдеу. Шешімдері бірдей жүйелер мәндес жүйелер деп аталады.

Сандар жұбын тексеру:

1. $x$ пен $y$-тің мәнін әр теңдеуге қоямыз ($x$ — жұптың бірінші саны, $y$ — екіншісі).

2. Екі теңдік те тура болса — жұп жүйенің шешімі. Біреуі ғана тура болса — шешімі емес.

Мысал 1: $(5; 3)$ жұбы: $5 + 3 = 8$ — тура, $5 - 3 = 2$ — тура. Демек, $$ — жүйенің шешімі. Ал : тура, бірақ , сондықтан шешімі емес.

Графиктік тәсіл:

1. Әр теңдеудің графигін — түзуді — бір координаталық жазықтықта саламыз (әр түзуге екі нүкте жеткілікті).

2. Түзулердің ортақ нүктесінің координаталары — жүйенің шешімі.

3. Табылған жұпты екі теңдеуге қойып тексереміз.

Мысал 2: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$. $m$ түзуі және нүктелері арқылы, түзуі және нүктелері арқылы өтеді. Тексеру: , . Жауабы: .

Суретте $m$ және $n$ түзулері $A(3; 2)$ нүктесінде қиылысады.

Шешімдер саны түзулердің орналасуына байланысты:

1. түзулер қиылысады — жүйенің бір шешімі бар;

2. түзулер параллель — шешімі жоқ;

3. түзулер беттеседі — шешімі шексіз көп.

Мысал 3: $\begin{cases} x + y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases}$ — бір қосынды әрі $4$-ке, әрі -ге тең бола алмайды, шешімі жоқ. Ал жүйесінде екінші теңдеу біріншісін -ге көбейткенде шығады, сондықтан шешімі шексіз көп.

Суретте $x + y = 4$ ($m$) және $x + y = 1$ ($n$) теңдеулерінің графиктері — параллель түзулер, ортақ нүктесі жоқ.

Жиі қате: жұпты тек бір теңдеуге қойып тексеру; $x$ пен $y$-тің орнын ауыстырып, $(2; 3)$ орнына $(3; 2)$ деп жазу; екі теңдеуі бар жүйенің шешімі екі болады деп ойлау.