10.3. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Когда ищут общее решение нескольких уравнений с двумя переменными, их объединяют фигурной скобкой. Это называется системой линейных уравнений с двумя переменными: $\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Решение системы — пара чисел $(x; y)$, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — найти все её решения или доказать, что решений нет. Системы, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Проверка пары чисел:

1. Подставляем значения $x$ и $y$ в каждое уравнение ($x$ — первое число пары, $y$ — второе).

2. Если оба равенства верны — пара является решением системы. Если верно только одно — не является.

Пример 1: пара $(5; 3)$: $5 + 3 = 8$ — верно, $5 - 3 = 2$ — верно. Значит, $$ — решение системы. А : верно, но , поэтому это не решение.

Графический способ:

1. Строим график каждого уравнения — прямую — в одной координатной плоскости (для прямой достаточно двух точек).

2. Координаты общей точки прямых — решение системы.

3. Найденную пару проверяем подстановкой в оба уравнения.

Пример 2: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$. Прямая $m$ проходит через точки и , прямая — через и . Проверка: , . Ответ: .

На рисунке прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $A(3; 2)$.

Число решений зависит от расположения прямых:

1. прямые пересекаются — у системы одно решение;

2. прямые параллельны — решений нет;

3. прямые совпадают — решений бесконечно много.

Пример 3: $\begin{cases} x + y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases}$ — одна и та же сумма не может равняться и $4$, и , решений нет. А в системе второе уравнение получается умножением первого на , поэтому решений бесконечно много.

На рисунке графики уравнений $x + y = 4$ ($m$) и $x + y = 1$ ($n$) — параллельные прямые, общих точек у них нет.

Частая ошибка: подставлять пару только в одно уравнение; путать порядок $x$ и $y$ и писать $(3; 2)$ вместо $(2; 3)$; думать, что раз в системе два уравнения, то и решений два.