10.4. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін алмастыру тәсілімен шешу

Алмастыру тәсілі — жүйенің бір теңдеуінен бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектеп, сол өрнекті екінші теңдеуге қою арқылы бір айнымалысы бар сызықтық теңдеуге келтіру тәсілі.

Шешу реті:

1. Бір теңдеуден бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектейміз (мысалы, $x$-ті $y$ арқылы).

2. Табылған өрнекті екінші теңдеудегі осы айнымалының орнына қоямыз — бір айнымалысы бар теңдеу шығады.

3. Сол теңдеуді шешіп, бір айнымалының мәнін табамыз.

4. Табылған мәнді 1-қадамдағы өрнекке қойып, екінші айнымалыны табамыз. Жауапты $(x; y)$ жұбы түрінде жазамыз.

Коэффициенті $1$ немесе $-1$ болатын айнымалыны өрнектеген тиімді — сонда бөлшек шықпайды.

Мысал 1: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 4x - 3y = 22 \end{cases}$. Бірінші теңдеуден $x=$. Екіншісіне қоямыз: , , , . Онда . Тексеру: , . Жауабы: .

Суретте 1-мысалдың алғашқы екі қадамы: бірінші теңдеуден өрнектелген $x$ екінші теңдеуге қойылады.

Суретте осы екі теңдеудің графиктері $M(7; 2)$ нүктесінде қиылысады — графиктік тәсіл де сол жауапты береді.

Мысал 2: $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$. Бірінші теңдеуді -ға көбейтеміз: . Екіншісінен . Қоямыз: , , , . Жауабы: .

Мысал 3: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 4x - 2y = 3 \end{cases}$. Қоямыз: $4x$, — айнымалы жойылып, жалған теңдік шықты, демек . Ал сияқты тура теңдік шықса, жүйенің .

Жиі қате: жақша алдындағы минусты ескермеу ($-2(2x + 1) = -4x - 2$, ал $-4x + 2$ емес); өрнекті өзі алынған теңдеуге қайта қою; бір айнымалыны тауып, екіншісін ұмыту; жұпта $x$ пен -тің орнын ауыстыру.