10.4. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки

Способ подстановки — из одного уравнения системы выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение во второе уравнение; получается линейное уравнение с одной переменной.

Порядок решения:

1. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую (например, $x$ через $y$).

2. Подставляем полученное выражение во второе уравнение вместо этой переменной — получается уравнение с одной переменной.

3. Решаем это уравнение и находим значение одной переменной.

4. Подставляем найденное значение в выражение из шага 1 и находим вторую переменную. Ответ записываем парой $(x; y)$.

Выгодно выражать переменную с коэффициентом $1$ или $-1$ — тогда не появятся дроби.

Пример 1: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 4x - 3y = 22 \end{cases}$. Из первого уравнения $x$. Подставляем во второе: , , , . Тогда . Проверка: , . Ответ: .

На рисунке первые два шага примера 1: выраженное из первого уравнения $x$ подставляется во второе.

На рисунке графики этих двух уравнений пересекаются в точке $M(7; 2)$ — графический способ даёт тот же ответ.

Пример 2: $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$. Умножим первое уравнение на : . Из второго . Подставляем: , , , . Ответ: .

Пример 3: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 4x - 2y = 3 \end{cases}$. Подставляем: $4x$, — переменная исчезла и получилось неверное равенство, значит, . Если же получится верное равенство вида , то система имеет .

Частые ошибки: не учесть минус перед скобкой ($-2(2x + 1) = -4x - 2$, а не $-4x + 2$); подставить выражение в то же уравнение, из которого оно получено; найти одну переменную и забыть вторую; поменять местами $$ и в паре.