2.16. Проценттерге күрделі есептер

Проценттерге күрделі есептер — шама бірнеше рет қатарынан процентпен өзгеретін, процент проценттен алынатын немесе ерітінділерге берілген есептер. Басты ереже: әр келесі процент алдыңғы өзгерістен кейінгі жаңа мәннен есептеледі — жаңа мән жаңа $100\%$ болады.

Негізгі ережелер:

1. Шама $p\%$-ке артса, оны $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$-ге көбейтеміз: $15\%$-ке артса — $1{,}15$-ке.

2. Шама $p\%$-ке кемісе, оны $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$-ге көбейтеміз: $15\%$-ке кемісе — -ке.

3. Бірнеше өзгерісте көбейткіштерді көбейтеміз. Проценттерді қосып-азайтуға болмайды.

4. Кері есепте (соңғы мән белгілі) соңғы мәнді көбейткішке бөлеміз.

5. $a\%$-тің $b\%$-і — бүтіннің $\dfrac{a \cdot b}{100}\%$-і: $30$-тің -і — .

Мысал 1: Баға $10\%$-ке қымбаттап, сосын $20\%$-ке арзандады. $1{,}1 \cdot 0{,}8 = 0{,}88$ — соңғы баға бастапқының $88\%$-і, яғни баға -ке арзандады (-ке емес).

Суретте $100$ теңгелік тауар: $+10\%$-тен кейін $110$, ал $110$-ның $20\%$-і $22$, сондықтан $$-тен кейін .

Күрделі процент формуласы. Салымға әр жыл сайын $P\%$ өсім алдыңғы жылғы сомадан қосылса (өсімге де өсім есептелсе): $S_n = S \cdot \left(1 + \dfrac{P}{100}\right)^n$, мұндағы — алғашқы сома, — жыл (ай) саны, — жылдан кейінгі сома. Жай процентте өсім әр жыл алғашқы сомадан ғана есептеледі.

Мысал 2: $200\,000$ теңге жылына $10\%$ күрделі өсіммен салынды: $200\,000 \cdot 1{,}1^2 = 242\,000$ теңге. Жай өсіммен теңге болар еді.

Суретте салымның жыл сайынғы сомасы: өсім алдымен $20\,000$, ал екінші жылы $22\,000$ теңге.

Ерітінділер. Концентрация — еріген зат массасының бүкіл ерітінді массасына проценттік қатынасы. Су қосқанда не буландырғанда заттың массасы өзгермейді.

Мысал 3: $20\%$-тік $300$ г тұзды ерітіндіге $100$ г су қосылды. Тұз: $300 \cdot 0{,}2 = 60$ г; жаңа масса $400$ г; концентрация .

Суретте: $300$ г $20\%$-тік ерітінді мен $100$ г таза су араласып, $400$ г $15\%$-тік ерітінді шықты.

Жиі қате: проценттерді қосу ($+20\%$ пен $-20\%$ «ештеңе өзгермеді» емес: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, баға $4\%$-ке түседі) және кері есепте соңғы мәннің процентін алып тастау.