2.16. Сложные задачи на проценты

Сложные задачи на проценты — задачи о многократном изменении величины на проценты, о проценте от процента и о растворах. Главное правило: каждый следующий процент считается от нового значения, полученного после предыдущего изменения — новое значение становится новыми $100\%$.

Основные правила:

1. Если величина увеличилась на $p\%$, умножаем её на $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$: увеличение на $15\%$ — умножение на $1{,}15$.

2. Если величина уменьшилась на $p\%$, умножаем её на $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$: уменьшение на $15\%$ — умножение на .

3. При нескольких изменениях множители перемножаем. Складывать и вычитать проценты нельзя.

4. В обратной задаче (известно конечное значение) делим конечное значение на множитель.

5. $b\%$ от $a\%$ — это $\dfrac{a \cdot b}{100}\%$ целого: $40$ от — это .

Пример 1: Цена выросла на $10\%$, затем снизилась на $20\%$. $1{,}1 \cdot 0{,}8 = 0{,}88$ — новая цена составляет $88\%$ начальной, то есть цена снизилась на (а не на ).

На рисунке товар за $100$ тенге: после $+10\%$ — $110$, а $20\%$ от $110$ — это $22$, поэтому после $$ — .

Формула сложных процентов. Если к вкладу каждый год начисляется $P\%$ от суммы предыдущего года (проценты начисляются и на проценты): $S_n = S \cdot \left(1 + \dfrac{P}{100}\right)^n$, где — начальная сумма, — число лет (месяцев), — сумма через лет. При простых процентах прибыль считается только от начальной суммы.

Пример 2: $200\,000$ тенге положили под $10\%$ годовых со сложными процентами: $200\,000 \cdot 1{,}1^2 = 242\,000$ тенге. При простых процентах было бы тенге.

На рисунке сумма вклада по годам: прибыль сначала $20\,000$, а во второй год $22\,000$ тенге.

Растворы. Концентрация — процентное отношение массы растворённого вещества к массе всего раствора. При добавлении воды или выпаривании масса вещества не меняется.

Пример 3: В $300$ г $20\%$-го солевого раствора добавили $100$ г воды. Соль: $300 \cdot 0{,}2 = 60$ г; новая масса $400$ г; концентрация .

На рисунке: $300$ г $20\%$-го раствора и $100$ г чистой воды дают $400$ г $15\%$-го раствора.

Частая ошибка: складывать проценты ($+20\%$ и $-20\%$ — это не «ничего не изменилось»: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, цена снизится на $4\%$) и в обратной задаче отнимать процент от конечного значения.