2.4. Санның модулі

Санның модулі — координаталық түзуде осы санды кескіндейтін нүктеден санақ басына ($O$ нүктесіне) дейінгі қашықтық (бірлік кесінді есебімен). Белгіленуі: $|a|$. Модульді абсолюттік шама деп те атайды.

Қашықтық теріс болмайды, сондықтан кез келген санның модулі теріс емес: $|a| \ge 0$.

Модульді табу ережелері:

1. Оң санның модулі сол санның өзіне тең: $|7| = 7$, $|2{,}4| = 2{,}4$.

2. Теріс санның модулі оған қарама-қарсы санға тең: $|-7| = 7$, $\left|-\dfrac{3}{5}\right| = \dfrac{3}{5}$.

3. Нөлдің модулі нөлге тең: $|0| = 0$.

4. Қарама-қарсы сандардың модульдері тең: $|-a| = |a|$. Модуль — минус таңбасын «алып тастау» емес, санақ басына дейінгі қашықтық.

Суретте $-7$ мен $7$ нүктелері санақ басынан бірдей $7$ бірлік қашықтықта тұр, сондықтан $|-7| = |7| = 7$.

$|x| = a$ теңдеуі:

1. $a > 0$ болса, екі шешім бар: $x = a$ және $x = -a$ (санақ басынан екі жаққа бірдей қашықтық).

2. $a = 0$ болса, бір шешім: .

Мысал 1: $|-12| + |3| = 12 + 3 = 15$; $|-18| : |-6| = 18 : 6 = 3$. Алдымен модульдерді табамыз, сосын оң сандармен амал орындаймыз.

Мысал 2: $3 \cdot |x| = 15$. Алдымен $|x| = 15 : 3 = 5$, сондықтан $x = -5$ немесе .

Суретте $|x| = 5$ теңдеуінің екі шешімі: санақ басынан $5$ бірлік қашықтықтағы $-5$ және $5$ нүктелері.

Мысал 3: $|x| < 3$ болатын бүтін сандар: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $$ — барлығы сан. Санақ басынан бірліктен жақын тұрған бүтін нүктелерді екі жақтан да санаймыз, -ді ұмытпаймыз.

Суретте $|x| < 3$ болатын бүтін сандар толық нүктелермен белгіленген; $-3$ пен $3$ (бос нүктелер) кірмейді, өйткені $|-3| = |3| = 3$.

Жиі қате: $|x| = 5$ теңдеуінің тек $x = 5$ шешімін жазып, $x = -5$-ті ұмыту; $|-4|$ деп жазу; теңдеуіне шешім іздеу.