2.4. Модуль числа

Модуль числа — расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта (точки $O$) в единичных отрезках. Обозначение: $|a|$. Модуль также называют абсолютной величиной.

Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль любого числа неотрицателен: $|a| \ge 0$.

Правила нахождения модуля:

1. Модуль положительного числа равен самому числу: $|7| = 7$, $|2{,}4| = 2{,}4$.

2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: $|-7| = 7$, $\left|-\dfrac{3}{5}\right| = \dfrac{3}{5}$.

3. Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$.

4. Модули противоположных чисел равны: $|-a| = |a|$. Модуль — не «стирание минуса», а расстояние до начала отсчёта.

На рисунке точки $-7$ и $7$ находятся на одинаковом расстоянии $7$ единиц от начала отсчёта, поэтому $|-7| = |7| = 7$.

Уравнение $|x| = a$:

1. Если $a > 0$, решений два: $x = a$ и $x = -a$ (одинаковое расстояние от начала отсчёта в обе стороны).

2. Если $a = 0$, решение одно: .

Пример 1: $|-12| + |3| = 12 + 3 = 15$; $|-18| : |-6| = 18 : 6 = 3$. Сначала находим модули, потом выполняем действия с положительными числами.

Пример 2: $3 \cdot |x| = 15$. Сначала $|x| = 15 : 3 = 5$, поэтому $x = -5$ или .

На рисунке два решения уравнения $|x| = 5$: точки $-5$ и $5$ на расстоянии $5$ единиц от начала отсчёта.

Пример 3: целые числа, для которых $|x| < 3$: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $$ — всего чисел. Считаем целые точки ближе единиц к началу отсчёта с обеих сторон и не забываем .

На рисунке целые числа с $|x| < 3$ отмечены закрашенными точками; $-3$ и $3$ (пустые точки) не входят, так как $|-3| = |3| = 3$.

Частая ошибка: записать для $|x| = 5$ только $x = 5$ и забыть $x = -5$; написать $|-4| = -4$; искать решения уравнения .