4.2. Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеулер. Мәндес теңдеулер

Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу — $ax + b = 0$ түріндегі теңдеу, мұндағы $x$ — айнымалы, $a$ мен $b$ — сандар. $a$ саны — айнымалының коэффициенті, $b$ — бос мүше. Мысалы, $0{,}4x - 2 = 0$ ($a = 0{,}4$, $b = -2$). $5x - 7 = x + 1$ теңдеуі де сызықтық: түрлендіргенде $4x - 8 = 0$ шығады.

Теңдеудің түбірі — теңдеуді тура санды теңдікке айналдыратын айнымалының мәні. Теңдеуді шешу — оның барлық түбірлерін табу немесе түбірі жоқ екенін көрсету.

Мәндес теңдеулер — түбірлері бірдей теңдеулер (түбірі жоқ теңдеулер де өзара мәндес). Мысалы, $3(x - 2) = 0$ мен $3x - 6 = 0$ мәндес: екеуінің де түбірі $2$.

Мәндес түрлендірулер (теңдеу мәндес теңдеуге айналады):

1. екі жағына да бірдей санды (өрнекті) қосу немесе азайту;

2. қосылғышты таңбасын қарама-қарсыға өзгертіп, теңдеудің екінші жағына көшіру;

3. екі жағын да нөлден өзге бірдей санға көбейту немесе бөлу. Екі жағын $0$-ге көбейтуге болмайды: $x = 5$ теңдеуінің түбірі тек $5$, ал $0 \cdot x = 0 \cdot 5$ теңдеуіне кез келген сан сай келеді.

Шешу реті: жақшаларды ашамыз (бөлшек болса, екі жағын ортақ бөлімге көбейтеміз); $x$ бар мүшелерді сол жаққа, бос мүшелерді оң жаққа көшіреміз; ұқсас мүшелерді біріктіреміз; екі жағын $x$-тің коэффициентіне бөлеміз.

Мысал 1: $3x + 2 = x + 8$. Көшіреміз: $3x - x = 8 - 2$, яғни $$, . Тексеру: және .

Суретте 1-таразы — $3x + 2 = x + 8$. Екі табақтан бір $x$-ті алсақ, тепе-теңдік сақталады: 2-таразы — $2x + 2 = 8$.

Суретте әрі қарай: екі табақтан $2$-ні алдық (3-таразы: $2x = 6$), сосын екі табақтағы жүкті $2$ есе азайттық (4-таразы: $x = 3$).

Мысал 2: $\dfrac{x}{2} - 1 = \dfrac{x}{3}$. Екі жағын -ға көбейтеміз: , бұдан .

Үш жағдай (теңдеу $ax = -b$ түріне келтірілгенде):

1. $a \ne 0$ — бір ғана түбір: $x = -\dfrac{b}{a}$;

Жиі қате: көшірілген мүшенің таңбасын өзгертпеу; жақша алдындағы минусты тек бірінші мүшеге қолдану; бөлшекті теңдеуде бір мүшені ортақ бөлімге көбейтпей қалдыру.