4.2. Линейные уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения

Линейное уравнение с одной переменной — уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числа. Число $a$ — коэффициент при переменной, $b$ — свободный член. Например, $0{,}4x - 2 = 0$ ($a = 0{,}4$, $b = -2$). Уравнение $5x - 7 = x + 1$ тоже линейное: после преобразований получаем $4x - 8 = 0$.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение — найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одни и те же корни (уравнения, не имеющие корней, тоже равносильны). Например, $3(x - 2) = 0$ и $3x - 6 = 0$ равносильны: у обоих корень $2$.

Равносильные преобразования (уравнение переходит в равносильное):

1. прибавить к обеим частям или вычесть из обеих частей одно и то же число (выражение);

2. перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный;

3. умножить или разделить обе части на одно и то же отличное от нуля число. Умножать обе части на $0$ нельзя: у уравнения $x = 5$ корень только $5$, а уравнению $0 \cdot x = 0 \cdot 5$ удовлетворяет любое число.

Порядок решения: раскрываем скобки (если есть дроби, умножаем обе части на общий знаменатель); члены с $x$ переносим влево, свободные члены — вправо; приводим подобные слагаемые; делим обе части на коэффициент при $x$.

Пример 1: $3x + 2 = x + 8$. Переносим: $3x - x = 8 - 2$, то есть $$, . Проверка: и .

На рисунке весы 1 — это $3x + 2 = x + 8$. Если снять по одному $x$ с обеих чаш, равновесие сохранится: весы 2 — $2x + 2 = 8$.

На рисунке дальше: сняли с обеих чаш по $2$ (весы 3: $2x = 6$), затем уменьшили груз на обеих чашах в $2$ раза (весы 4: $x = 3$).

Пример 2: $\dfrac{x}{2} - 1 = \dfrac{x}{3}$. Умножаем обе части на : , откуда .

Три случая (после приведения уравнения к виду $ax = -b$):

1. $a \ne 0$ — единственный корень: $x = -\dfrac{b}{a}$;

Частые ошибки: не менять знак переносимого члена; применять минус перед скобкой только к первому слагаемому; при умножении уравнения с дробями забыть умножить на общий знаменатель какой-нибудь член.