5.2. Санды теңсіздіктердің қасиеттері

Санды теңсіздіктердің қасиеттері тура теңсіздіктен жаңа тура теңсіздік алуға және өрнектің мәнін бағалауға — оның қандай екі санның арасында жатқанын табуға мүмкіндік береді.

Негізгі қасиеттер:

1. Егер $a > b$ және $b > c$ болса, онда $a > c$.

2. Егер $a > b$ болса, кез келген $c$ үшін $a + c > b + c$. Сондықтан қосылғышты теңсіздіктің екінші жағына таңбасын қарама-қарсыға өзгертіп көшіруге болады.

3. Егер $a > b$ және $c > 0$ болса, онда $ac > bc$, $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$. Ал болса, , : .

4. Белгілері бірдей теңсіздіктерді мүшелеп қосуға болады: $a > b$, $c > d$ болса, $a + c > b + d$.

5. Белгілері бірдей және барлық сандары оң теңсіздіктерді мүшелеп көбейтуге болады: $a > b$, $c > d$ болса, $ac > bd$.

6. $a > 0$, $b > 0$ және $a < b$ болса, $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

Мысал 1: $3 < 7$ теңсіздігінің екі жағына $2$ қосамыз: $5 < 9$. Суретте $3$ мен $7$ нүктелері оңға $$ бірлікке жылжыды, олардың реті өзгерген жоқ.

Мысал 2: $2 < 5$ теңсіздігін $-1$-ге көбейтеміз: $-2 > -5$. Суретте $2$ мен $5$ нүктелері -дің арғы жағына өтті, енді нүктесі сол жақта — белгі ауысты.

Мысал 3: $2 < x < 3$ және $4 < y < 6$. Қосынды: $6 < x + y < 9$. Айырма үшін алдымен -ге көбейтеміз: , сосын мүшелеп қосамыз: . Көбейтінді: .

Жиі қате: теңсіздіктерді мүшелеп азайту ($2 - 4 < x - y < 3 - 6$ — қате); теріс санға көбейткенде белгіні аудармау; теріс сандары бар теңсіздіктерді мүшелеп көбейту: $-3 < 1$ және тура, бірақ жалған.