5.2. Свойства числовых неравенств

Свойства числовых неравенств позволяют из верного неравенства получать новые верные неравенства и оценивать значение выражения — находить, между какими двумя числами оно заключено.

Основные свойства:

1. Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

2. Если $a > b$, то для любого $c$ верно $a + c > b + c$. Поэтому слагаемое можно переносить в другую часть неравенства, меняя его знак на противоположный.

3. Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$, $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$. Если же , то , : .

4. Неравенства одного знака можно почленно складывать: если $a > b$, $c > d$, то $a + c > b + d$.

5. Неравенства одного знака, в которых все числа положительны, можно почленно умножать: если $a > b$, $c > d$, то $ac > bd$.

6. Если $a > 0$, $b > 0$ и $a < b$, то $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

Пример 1: к обеим частям неравенства $3 < 7$ прибавим $2$: $5 < 9$. На рисунке точки $3$ и $7$ сдвинулись вправо на $$ единицы, их порядок не изменился.

Пример 2: умножим неравенство $2 < 5$ на $-1$: $-2 > -5$. На рисунке точки $2$ и $5$ перешли по другую сторону от , теперь левее оказалась точка — знак поменялся.

Пример 3: $2 < x < 3$ и $4 < y < 6$. Сумма: $6 < x + y < 9$. Для разности сначала умножим на : , затем сложим почленно: . Произведение: .

Частые ошибки: почленно вычитать неравенства ($2 - 4 < x - y < 3 - 6$ — неверно); не менять знак при умножении на отрицательное число; почленно умножать неравенства с отрицательными числами: $-3 < 1$ и верны, но неверно.