5.3. Сан аралықтары

Сан аралығы — координаталық түзудегі екі санның арасындағы (немесе бір саннан бастап шексіз созылатын) барлық сандардың жиыны. Сан аралығы теңсіздіктің шешімдер жиынын қысқа жазуға мүмкіндік береді.

Сан аралықтарының түрлері ($a < b$):

1. Интервал $(a; b)$ — бұл $a < x < b$; екі ұшы да енбейді.

2. Кесінді $[a; b]$ — бұл $a \le x \le b$; екі ұшы да енеді.

3. Жартылай интервал $[a; b)$ — бұл $a \le x < b$, немесе $(a; b]$ — бұл $a<x\le b$; бір ұшы ғана енеді.

4. Сәуле $[a; +\infty)$ — бұл $x \ge a$, немесе $(-\infty; b]$ — бұл $x \le b$.

5. Ашық сәуле $(a; +\infty)$ — бұл $x > a$, немесе $(-\infty; b)$ — бұл $x < b$.

6. Сан түзуі $(-\infty; +\infty)$ — барлық сандар.

Жазу ережелері:

1. Тік жақша $[\;]$ — ұшы аралыққа енеді (сызбада толтырылған нүкте); дөңгелек жақша $(\;)$ — енбейді (бос дөңгелек).

2. Сол жақта әрқашан кіші сан, оң жақта үлкен сан жазылады.

3. $+\infty$ пен $-\infty$ жанында тек дөңгелек жақша тұрады: шексіздік сан емес.

4. Екі жағынан шектелген аралықтың ұзындығы $b - a$-ға тең.

Мысал 1: $-1 < x \le 4$ қос теңсіздігінің шешімдер жиыны — $(-1; 4]$ жартылай интервалы: $-1$ енбейді, $4$ енеді. Оған тиісті бүтін сандар: — барлығы .

Суретте $(-1; 4]$: $-1$ нүктесі бос дөңгелек, $4$ нүктесі толтырылған.

Мысал 2: $x \ge -2$ теңсіздігінің шешімдер жиыны — $[-2; +\infty)$ сәулесі.

Суретте боялған бөлік $-2$ нүктесінен оңға қарай шексіз созылады, $-2$ енеді.

Мысал 3: $x < 3{,}5$ — бұл $(-\infty; 3{,}5)$ ашық сәулесі. Оған тиісті ең үлкен бүтін сан — $3$, ал $3{,}5$ саны оған енбейді.

Жиі қате: қатаң теңсіздікке тік жақша қою ($x > 2$ үшін дұрысы $(2; +\infty)$); $+\infty$ жанына тік жақша жазу; ұштарын ауыстырып жазу ($[5; -1]$ емес, ).