5.3. Числовые промежутки

Числовой промежуток — множество всех чисел координатной прямой, лежащих между двумя числами (или бесконечно продолжающихся от одного числа). Числовые промежутки позволяют коротко записывать множество решений неравенства.

Виды числовых промежутков ($a < b$):

1. Интервал $(a; b)$ — это $a < x < b$; оба конца не входят.

2. Отрезок $[a; b]$ — это $a \le x \le b$; оба конца входят.

3. Полуинтервал $[a; b)$ — это $a \le x < b$, или $(a; b]$ — это $a < x \le b$; входит только один конец.

4. Луч $[a; +\infty)$ — это $x \ge a$, или $(-\infty; b]$ — это $x \le b$.

5. Открытый луч $(a; +\infty)$ — это $x > a$, или $(-\infty; b)$ — это $x < b$.

6. Числовая прямая $(-\infty; +\infty)$ — все числа.

Правила записи:

1. Квадратная скобка $[\;]$ — конец входит в промежуток (на чертеже закрашенная точка); круглая скобка $(\;)$ — не входит (пустой кружок).

2. Слева всегда пишут меньшее число, справа — большее.

3. Рядом с $+\infty$ и $-\infty$ ставят только круглую скобку: бесконечность — не число.

4. Длина промежутка, ограниченного с двух сторон, равна $b - a$.

Пример 1: множество решений двойного неравенства $-1 < x \le 4$ — полуинтервал $(-1; 4]$: $-1$ не входит, $4$ входит. Целые числа в нём: — всего .

На рисунке $(-1; 4]$: точка $-1$ — пустой кружок, точка $4$ закрашена.

Пример 2: множество решений неравенства $x \ge -2$ — луч $[-2; +\infty)$.

На рисунке закрашенная часть бесконечно продолжается вправо от точки $-2$, число $-2$ входит.

Пример 3: $x < 3{,}5$ — это открытый луч $(-\infty; 3{,}5)$. Наибольшее целое число в нём — $3$, а само число $3{,}5$ в него не входит.

Частая ошибка: ставить квадратную скобку при строгом неравенстве (для $x > 2$ верно $(2; +\infty)$); ставить квадратную скобку рядом с $+\infty$; менять концы местами (не $[5; -1]$, а ).