5.4. Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы

Сан аралықтарының бірігуі — $A$ және $B$ сан аралықтарының кем дегенде біреуіне тиісті барлық сандар жиыны. Белгіленуі: $A \cup B$.

Сан аралықтарының қиылысуы — $A$ аралығына да, $B$ аралығына да тиісті (екеуіне ортақ) сандар жиыны. Белгіленуі: $A \cap B$. Ортақ сан болмаса, қиылысу — бос жиын $\varnothing$.

Табу тәсілі:

1. Екі аралықты бір координаталық түзуде кескіндейміз (әрқайсысын өз биіктігінде штрихтаймыз).

2. Бірігуі — кем дегенде бір штрих бар бөлік; қиылысуы — екі штрих қабаттасатын бөлік.

3. Қиылысудың сол жақ шеті — екі сол шеттің үлкені, оң жақ шеті — екі оң шеттің кішісі. Сол шет оң шеттен үлкен болса, қиылысу $\varnothing$.

4. Аралықтар қабаттасса не бірінің шеті екіншісіне тиісті болса, бірігуі — ең сол шеттен ең оң шетке дейінгі аралық. Араларында бос орын қалса, бірігу сан аралығы болмайды: оны $[-6; -2] \cup [3; 5]$ түрінде қалдырамыз.

5. Нәтиженің әр шетінің жақшасын сол шетті берген аралықтан аламыз.

Мысал 1: $[-3; 4] \cup [1; 8)$. Аралықтар $[1; 4]$ бөлігінде қабаттасады. Ең сол шеті $-3$ (тиісті), ең оң шеті $8$ (тиісті емес): . Ал қиылысуы: .

Суретте $[-3; 4]$ (көк) және $[1; 8)$ (сары) аралықтары: штрихтар $-3$-тен $8$-ге дейін үзіліссіз созылады, ал $1$ мен арасында қабаттасады.

Мысал 2: $(-\infty; 5] \cap (-2; +\infty)$. Сол шеттердің үлкені — $-2$ (тиісті емес), оң шеттердің кішісі — $5$ (тиісті). Жауабы: $(-2; 5]$.

Суретте екі штрих тек $-2$ мен $5$ арасында қабаттасады: $-2$ — бос нүкте, $5$ — толтырылған нүкте.

Мысал 3: $(-\infty; -1) \cap [2; +\infty) = \varnothing$ — ортақ сан жоқ; $(-\infty; 3] \cap [3; 6) = \{3\}$ — жалғыз ортақ сан; — сан аралығы емес, себебі саны ешқайсысына тиісті емес.

Жиі қате: шеттері бірдей болғанда жақшаны қате алу: $[1; 6) \cap (1; 9] = (1; 6)$, ал $[1; 6)$ емес. Сондай-ақ бірігуді әрқашан «ең кіші шеттен ең үлкен шетке дейін» деп жазу — аралықтардың арасындағы бос орынды ұмытпа.