5.4. Объединение и пересечение числовых промежутков

Объединение числовых промежутков $A$ и $B$ — множество всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из промежутков. Обозначение: $A \cup B$.

Пересечение числовых промежутков $A$ и $B$ — множество чисел, принадлежащих и промежутку $A$, и промежутку $B$ (общих для обоих). Обозначение: $A \cap B$. Если общих чисел нет, пересечение — пустое множество $\varnothing$.

Как найти:

1. Изображаем оба промежутка на одной координатной прямой (каждый штрихуем на своей высоте).

2. Объединение — часть, где есть хотя бы одна штриховка; пересечение — часть, где штриховки перекрываются.

3. Левый конец пересечения — больший из двух левых концов, правый конец — меньший из двух правых. Если левый конец больше правого, пересечение $\varnothing$.

4. Если промежутки перекрываются или конец одного принадлежит другому, объединение — промежуток от самого левого конца до самого правого. Если между ними остаётся пропуск, объединение не является промежутком: записываем его в виде $[-6; -2] \cup [3; 5]$.

5. Скобку у каждого конца ответа берём от того промежутка, который дал этот конец.

Пример 1: $[-3; 4] \cup [1; 8)$. Промежутки перекрываются на $[1; 4]$. Самый левый конец $-3$ (принадлежит), самый правый $8$ (не принадлежит): . А пересечение: .

На рисунке промежутки $[-3; 4]$ (синий) и $[1; 8)$ (жёлтый): штриховка тянется без разрыва от $-3$ до $8$, а между $1$ и перекрывается.

Пример 2: $(-\infty; 5] \cap (-2; +\infty)$. Больший из левых концов — $-2$ (не принадлежит), меньший из правых — $5$ (принадлежит). Ответ: $(-2; 5]$.

На рисунке штриховки перекрываются только между $-2$ и $5$: $-2$ — пустая точка, $5$ — закрашенная.

Пример 3: $(-\infty; -1) \cap [2; +\infty) = \varnothing$ — общих чисел нет; $(-\infty; 3] \cap [3; 6) = \{3\}$ — единственное общее число; — не промежуток, так как число не принадлежит ни одному из них.

Частая ошибка: неверная скобка при совпадающих концах: $[1; 6) \cap (1; 9] = (1; 6)$, а не $[1; 6)$. А также запись объединения всегда «от наименьшего конца до наибольшего» — не забывайте о пропуске между промежутками.