5.5. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік. Мәндес теңсіздіктер. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктерді шешу

Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік — $ax > b$, $ax < b$, $ax \geqslant b$, $ax \leqslant b$ түріндегі (немесе осы түрге келтірілетін) теңсіздік, мұндағы $a$ мен $b$ — сандар, $x$ — айнымалы. Мысалы: $3x - 5 > 7$, $2(x + 1) \leqslant x$.

Теңсіздіктің шешімі — айнымалының теңсіздікті тура санды теңсіздікке айналдыратын мәні. Теңсіздікті шешу — оның барлық шешімдер жиынын табу немесе шешімі жоқ екенін көрсету. Шешімдер жиындары бірдей теңсіздіктер мәндес деп аталады (шешімі жоқ теңсіздіктер де өзара мәндес).

Мәндес түрлендірулер:

1. Қосылғышты теңсіздіктің бір жағынан екінші жағына қарама-қарсы таңбамен көшіруге болады.

2. Екі жағын бірдей оң санға көбейтуге немесе бөлуге болады — белгі өзгермейді.

3. Екі жағын бірдей теріс санға көбейткенде немесе бөлгенде белгі қарама-қарсыға ауысады: $>$ орнына $<$, $\geqslant$ орнына $\leqslant$.

Шешу реті: жақшаларды ашу (бөлшектер болса — алдымен бөлімдердің ЕКОЕ-не көбейту) → $x$ бар мүшелерді сол жаққа, сандарды оң жаққа жинау → ұқсас қосылғыштарды біріктіру → $x$-тің коэффициентіне бөлу. Жауапты теңсіздікпен немесе сан аралығымен жазамыз.

Мысал 1: $7x - 3 \geqslant 4x + 9$; $7x - 4x \geqslant 9 + 3$; ; . Жауабы: .

Суретте осы жиын: $4$ нүктесі боялған (шешімге кіреді), штрих одан оңға қарай.

Мысал 2: $\dfrac{x}{2} - \dfrac{3x}{4} > 1$. Екі жағын -ке көбейтеміз: , яғни . Енді -ге бөлеміз және белгіні ауыстырамыз: . Жауабы: .

Суретте $-4$ нүктесі бос (шешімге кірмейді), штрих солға қарай.

$x$-тің коэффициенті $0$ болса ($0 \cdot x > b$ түрі), теңсіздік не ешбір $x$-те тура емес, не кез келген $x$-те тура.

Мысал 3: $2(3x + 1) - 6x < 5$ → $0 \cdot x < 3$ — кез келген $x$-те тура, жауабы . Ал → — шешімі жоқ, жауабы .

Жиі қате: теріс санға бөлгенде белгіні аудармау ($-3x < 6$ теңсіздігінен $x < -2$ емес, $x > -2$ шығады) және $>$, белгілерінде шеткі санды шешімге қосып жіберу.