5.5. Линейное неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства. Решение линейных неравенств с одной переменной

Линейное неравенство с одной переменной — неравенство вида $ax > b$, $ax < b$, $ax \geqslant b$, $ax \leqslant b$ (или приводимое к такому виду), где $a$ и $b$ — числа, $x$ — переменная. Например: $3x - 5 > 7$, $2(x + 1) \leqslant x$.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти множество всех его решений или доказать, что решений нет. Неравенства с одинаковыми множествами решений называются равносильными (неравенства, не имеющие решений, тоже равносильны).

Равносильные преобразования:

1. Слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

2. Обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число — знак не меняется.

3. При умножении или делении обеих частей на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $>$ на $<$, $\geqslant$ на $\leqslant$.

Порядок решения: раскрыть скобки (если есть дроби — сначала умножить на НОК знаменателей) → собрать члены с $x$ в левой части, числа — в правой → привести подобные слагаемые → разделить на коэффициент при $x$. Ответ записываем неравенством или числовым промежутком.

Пример 1: $7x - 3 \geqslant 4x + 9$; $7x - 4x \geqslant 9 + 3$; ; . Ответ: .

На рисунке это множество: точка $4$ закрашена (входит в решение), штриховка идёт от неё вправо.

Пример 2: $\dfrac{x}{2} - \dfrac{3x}{4} > 1$. Умножаем обе части на : , то есть . Теперь делим на и меняем знак: . Ответ: .

На рисунке точка $-4$ выколота (не входит в решение), штриховка идёт влево.

Если коэффициент при $x$ равен $0$ (вид $0 \cdot x > b$), неравенство либо неверно ни при каком $x$, либо верно при любом $x$.

Пример 3: $2(3x + 1) - 6x < 5$ → $0 \cdot x < 3$ — верно при любом $x$, ответ . А → — решений нет, ответ .

Частая ошибка: не поменять знак при делении на отрицательное число (из $-3x < 6$ следует не $x < -2$, а $x > -2$) и включить граничное число в решение при знаках $>$, .