5.7. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде берілген бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктерді шешу

Модуль таңбасының ішінде айнымалысы бар сызықтық теңсіздік — $|x| < a$, $|x - m| \geqslant d$, $|2x + 1| \leqslant 5$ сияқты теңсіздік. Мұндағы $|x - m|$ — координаталық түзуде $x$ нүктесінен $m$ нүктесіне дейінгі қашықтық.

Негізгі ережелер ($a > 0$ болса):

1. $|x| \leqslant a$ теңсіздігі $-a \leqslant x \leqslant a$ қос теңсіздігімен мәндес: шешімі $[-a; a]$ (санақ басынан қашықтығы -дан аспайтын нүктелер).

$a \leqslant 0$ болса: модуль теріс бола алмайды. Сондықтан $|x| < -3$ — шешімі жоқ ($\varnothing$), $|x| > -3$ — кез келген сан , — тек .

Мысал 1: $|x - 2| < 4$. Қос теңсіздік: $-4 < x - 2 < 4$, барлық бөлігіне $2$ қосамыз: . Жауабы: — бұл нүктесінен қашықтығы -тен кем нүктелер.

Суретте осы аралық: $-2$ мен $6$ нүктелері бос (шешімге кірмейді), олардың арасы штрихталған.

Мысал 2: $|x + 1| \geqslant 3$. Екі жағдай: $x + 1 \geqslant 3$, яғни $x \geqslant 2$; немесе , яғни . Жауабы: .

Суретте екі сәуле: $-4$ пен $2$ нүктелері боялған (шешімге кіреді), штрих олардан сыртқа қарай.

Жиі қате: $|x| > a$ теңсіздігін $-a < x < a$ деп жазу (ол $|x| < a$-ның шешімі!) және модулінде центрді деп алу — шын мәнінде , центр .