5.7. Решение линейных неравенств с одной переменной, содержащей переменную под знаком модуля

Линейное неравенство с переменной под знаком модуля — неравенство вида $|x| < a$, $|x - m| \geqslant d$, $|2x + 1| \leqslant 5$ и т. п. Здесь $|x - m|$ — это расстояние на координатной прямой от точки $x$ до точки $m$.

Основные правила (при $a > 0$):

1. Неравенство $|x| \leqslant a$ равносильно двойному неравенству $-a \leqslant x \leqslant a$: решение $[-a; a]$ (точки, удалённые от начала отсчёта не больше чем на ).

Если $a \leqslant 0$: модуль не бывает отрицательным. Поэтому $|x| < -3$ — решений нет ($\varnothing$), $|x| > -3$ — любое число , — только .

Пример 1: $|x - 2| < 4$. Двойное неравенство: $-4 < x - 2 < 4$, прибавляем $2$ ко всем частям: . Ответ: — это точки, удалённые от точки меньше чем на .

На рисунке этот промежуток: точки $-2$ и $6$ пустые (не входят в решение), между ними штриховка.

Пример 2: $|x + 1| \geqslant 3$. Два случая: $x + 1 \geqslant 3$, то есть $x \geqslant 2$; или , то есть . Ответ: .

На рисунке два луча: точки $-4$ и $2$ закрашены (входят в решение), штриховка идёт от них наружу.

Частая ошибка: записать решение $|x| > a$ как $-a < x < a$ (это решение $|x| < a$!) и считать центром модуля число — на самом деле , центр .