1.3. Дәрежені, көбейтіндіні және бөліндіні дәрежеге шығару

Дәрежені дәрежеге шығару. $(a^{m})^{n}$ өрнегі — негізі $a^{m}$, көрсеткіші $n$ болатын дәреже. Дәреженің анықтамасы бойынша $(a^{m})^{n} = a^{m} \cdot a^{m} \cdot \ldots \cdot a^{m}$ ($n$ рет) $= a^{m + m + \ldots + m} = a^{mn}$.

Ережелер ($m$, $n$ — натурал сандар):

1. Дәрежені дәрежеге шығарғанда негізі өзгеріссіз қалады, ал дәреже көрсеткіштері көбейтіледі: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$. Мысалы, $(x^{4})^{5} = x^{20}$.

2. Көбейтіндіні дәрежеге шығару үшін әр көбейткішті сол дәрежеге шығарып, нәтижелерін көбейтеміз: $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$. Үш және одан көп көбейткіш үшін де дұрыс: $(abc{)}^n={}^{}$. Сан көбейткіш (коэффициент) те дәрежеге шығарылады: .

3. Бөлшекті (бөліндіні) дәрежеге шығару үшін алымы мен бөлімін жеке-жеке сол дәрежеге шығарамыз: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}$, мұнда . Алым мен бөлімде бірнеше көбейткіш болса, әрқайсысы дәрежеге шығарылады: .

Мысал 1: $(c^{9})^{3} : c^{25} = c^{27} : c^{25} = c^{2}$ ().

Мысал 2: $(0{,}25)^{10} \cdot 4^{10} = (0{,}25 \cdot 4)^{10} = 1^{10} = 1$.

Мысал 3: $\dfrac{8^{3} \cdot 4^{5}}{2^{16}} = \dfrac{(2^{3})^{3} \cdot (2^{2})^{5}}{2^{16}} = \dfrac{2^{9} \cdot 2^{10}}{2^{16}} = 2^{3} = 8$.

Жиі қате: $(a^{3})^{4}$ өрнегінде көрсеткіштерді қосу ($a^{7}$ деп жазу; дұрысы $a^{12}$); өрнегінде коэффициентті дәрежеге шығармау ( деп жазу; дұрысы ). Ереже тек көбейтіндіге қолданылады, қосындыға емес: , ал .