1.3. Возведение в степень степени, произведения и частного

Возведение степени в степень. Выражение $(a^{m})^{n}$ — степень с основанием $a^{m}$ и показателем $n$. По определению степени $(a^{m})^{n} = a^{m} \cdot a^{m} \cdot \ldots \cdot a^{m}$ ($n$ раз) $= a^{m + m + \ldots + m} = a^{mn}$.

Правила ($m$, $n$ — натуральные числа):

1. При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$. Например, $(x^{4})^{5} = x^{20}$.

2. Чтобы возвести произведение в степень, возводим в эту степень каждый множитель и результаты перемножаем: $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$. Это верно и для трёх и более множителей: $(abc{)}^n={}^{}$. Числовой множитель (коэффициент) тоже возводится в степень: .

3. Чтобы возвести дробь (частное) в степень, возводим в эту степень отдельно числитель и знаменатель: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}$, где . Если в числителе и знаменателе несколько множителей, каждый возводится в степень: .

Пример 1: $(c^{9})^{3} : c^{25} = c^{27} : c^{25} = c^{2}$ ().

Пример 2: $(0{,}25)^{10} \cdot 4^{10} = (0{,}25 \cdot 4)^{10} = 1^{10} = 1$.

Пример 3: $\dfrac{8^{3} \cdot 4^{5}}{2^{16}} = \dfrac{(2^{3})^{3} \cdot (2^{2})^{5}}{2^{16}} = \dfrac{2^{9} \cdot 2^{10}}{2^{16}} = 2^{3} = 8$.

Частая ошибка: в выражении $(a^{3})^{4}$ складывать показатели (писать $a^{7}$; верно $a^{12}$); в не возводить в степень коэффициент (писать ; верно ). Правило работает только для произведения, а не для суммы: , а .