2.10. Өрнектерді тепе-тең түрлендіру

Тепе-тең өрнектер — айнымалылардың кез келген мәнінде сәйкес мәндері тең болатын өрнектер. Мысалы, $3(x - 2)$ пен $3x - 6$ — тепе-тең өрнектер. Тепе-теңдік — айнымалылардың кез келген мәнінде ақиқат болатын теңдік: $a(b + c) = ab + ac$. Өрнекті оған тепе-тең өрнекпен алмастыру тепе-тең түрлендіру деп аталады.

Негізгі тепе-тең түрлендірулер: жақшаны ашу, ұқсас мүшелерді біріктіру, бірмүше мен көпмүшені көбейту, ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару, топтау тәсілі, дәреже қасиеттерін қолдану.

1. Тепе-теңдікті дәлелдеу тәсілдері: сол жағын түрлендіріп, оң жағын алу (немесе керісінше); екі жағын да бір өрнекке келтіру; сол жағы мен оң жағының айырмасы $0$-ге тең екенін көрсету.

2. Тепе-теңдік емес екенін көрсету үшін теңдік орындалмайтын бір ғана мән табу жеткілікті. Ал бірнеше мәнде тексеру — дәлел емес!

3. Өрнектің мәнін табу үшін алдымен оны ықшамдаймыз, сосын айнымалының мәнін қоямыз — есептеу әлдеқайда жеңілдейді.

4. Ықшамдағанда сан шықса, өрнектің мәні айнымалыға тәуелсіз болады.

5. Тепе-тең түрлендіру арқылы теңдеулерді шешеміз, сандардың бөлінгіштігін дәлелдейміз.

Мысал 1: $(5x - 2)(3x^{2} + 2x - 9) - 7\left(\dfrac{4}{7}x^{2} - 7x\right) - 16x^{3} = 15x^{3} + 10x^{2} - 45x - 6x^{2} - 4x + 18 - 4x^{2} + 49x - 16x^{3} = 18 - x^{3}$.

Мысал 2: $(x - 5)(x + 8) - (x + 4)(x - 1) = -36$ — тепе-теңдік. Сол жағы: .

Мысал 3: $(n + 5)(n + 3) - (n + 1)(n + 3) = (n + 3)(n + 5 - n - 1) = 4(n + 3)$. Демек, кез келген бүтін үшін бұл өрнектің мәні -ке бөлінеді.

Жиі қате: бірнеше мәнде тексеріп, «тепе-теңдік» деп шешу; көбейтіндінің алдында «−» тұрғанда тек бірінші мүшенің таңбасын өзгерту (алдымен көбейтіп, нәтижені жақшаға алу керек: $-(x + 4)(x - 1) = -(x^{2} + 3x - 4) = -x^{2} - 3x + 4$); деп жазу.