2.10. Тождественные преобразования выражений

Тождественно равные выражения — выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных. Например, $3(x - 2)$ и $3x - 6$ — тождественно равные выражения. Тождество — равенство, верное при любых значениях переменных: $a(b + c) = ab + ac$. Замену выражения тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием.

Основные тождественные преобразования: раскрытие скобок, приведение подобных членов, умножение одночлена и многочлена, вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, применение свойств степени.

1. Способы доказательства тождества: преобразовать левую часть и получить правую (или наоборот); привести обе части к одному выражению; показать, что разность левой и правой частей равна $0$.

2. Чтобы показать, что равенство не является тождеством, достаточно найти одно значение, при котором оно не выполняется. А проверка при нескольких значениях — не доказательство!

3. Чтобы найти значение выражения, сначала упрощаем его, затем подставляем значение переменной — вычислять становится гораздо легче.

4. Если после упрощения получилось число, то значение выражения не зависит от переменной.

5. С помощью тождественных преобразований решаем уравнения и доказываем делимость чисел.

Пример 1: $(5x - 2)(3x^{2} + 2x - 9) - 7\left(\dfrac{4}{7}x^{2} - 7x\right) - 16x^{3} = 15x^{3} + 10x^{2} - 45x - 6x^{2} - 4x + 18 - 4x^{2} + 49x - 16x^{3} = 18 - x^{3}$.

Пример 2: $(x - 5)(x + 8) - (x + 4)(x - 1) = -36$ — тождество. Левая часть: .

Пример 3: $(n + 5)(n + 3) - (n + 1)(n + 3) = (n + 3)(n + 5 - n - 1) = 4(n + 3)$. Значит, при любом целом значение этого выражения делится на .

Частая ошибка: проверить равенство при нескольких значениях и решить, что это тождество; если перед произведением стоит «−», менять знак только у первого члена (сначала нужно перемножить и взять результат в скобки: $-(x + 4)(x - 1) = -(x^{2} + 3x - 4) = -x^{2} - 3x + 4$); писать .