2.2. Бірмүшелерді көбейту және дәрежеге шығару

Бірмүшелерді көбейткенде және дәрежеге шығарғанда көбейтудің ауыстырымдылық және терімділік қасиеттері мен дәреженің қасиеттері қолданылады: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$, $(a^{m})^{n} = a^{mn}$, $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$. Нәтиже әдетте стандарт түрге келтіріледі.

Ережелер:

1. Бірмүшелерді көбейту үшін олардың коэффициенттерін көбейтеміз, бірдей айнымалылардың дәреже көрсеткіштерін қосамыз, ал тек бір көбейткіште кездесетін айнымалыны сол қалпында жазамыз: $(-3a^{2}b^{3}c) \cdot (5a^{3}bc^{2}d) = -15a^{5}b^{4}c^{3}d$.

2. Бірмүшені дәрежеге шығару үшін оның әрбір көбейткішін — коэффициентін де, әр әріпті де — сол дәрежеге шығарамыз: $(2a^{2}y^{3}z)^{4} = 2^{4}a^{8}y^{12}z^{4} = 16a^{8}y^{12}z^{4}$. Таңба: теріс коэффициенттің жұп дәрежесі оң, тақ дәрежесі теріс.

3. Нәтиженің дәрежесі: бірмүшелерді көбейткенде олардың дәрежелері қосылады; бірмүшені $n$-дәрежеге шығарғанда оның дәрежесі $n$ есе артады.

4. Кері есеп. Бірмүшені бірмүшенің квадраты не кубы түрінде жазу үшін коэффициенттен квадрат (куб) болатын санды табамыз, ал көрсеткіштерді $2$-ге ($3$-ке) бөлеміз: $64x^{6}y^{12} = (8x^{3}y^{6})^{2}$, . Коэффициенті теріс бірмүше бірмүшенің квадраты бола алмайды.

Мысал 1: $1\dfrac{1}{2}a^{2}b \cdot (-4ab^{3}) \cdot 0{,}5c = \left(\dfrac{3}{2} \cdot (-4) \cdot \dfrac{1}{2}\right) \cdot (a^{2}a)(bb^{3})c = -3a^{3}b^{4}c$.

Мысал 2: $\left(\dfrac{1}{2}a^{2}\right)^{3} \cdot 8a = \dfrac{1}{8}a^{6} \cdot 8a = a^{7}$.

Мысал 3: $a = -1$, $b = 2$ болғанда $2a^{3}b \cdot 5ab^{2}$ мәнін табамыз. Алдымен ықшамдаймыз: . Сонда .

Геометрияда: қабырғалары $5x^{4}y^{7}$ және $7x^{2}y^{5}$ тіктөртбұрыштың ауданы , ал қыры текшенің көлемі .

Жиі қате: көбейткенде көрсеткіштерді көбейту ($a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ деп жазу; дұрысы $a^{5}$) немесе коэффициенттерді қосу; дәрежеге шығарғанда коэффициентті ұмыту ( деп жазу; дұрысы ); пен таңбаларын шатастыру: , ал .