2.2. Умножение одночленов и возведение в степень

При умножении одночленов и возведении их в степень используются переместительное и сочетательное свойства умножения и свойства степени: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$, $(a^{m})^{n} = a^{mn}$, $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$. Результат обычно приводят к стандартному виду.

Правила:

1. Чтобы умножить одночлены, перемножаем их коэффициенты, у одинаковых переменных складываем показатели, а переменную, которая встречается только в одном множителе, переписываем без изменений: $(-3a^{2}b^{3}c) \cdot (5a^{3}bc^{2}d) = -15a^{5}b^{4}c^{3}d$.

2. Чтобы возвести одночлен в степень, возводим в эту степень каждый множитель — и коэффициент, и каждую букву: $(2a^{2}y^{3}z)^{4} = 2^{4}a^{8}y^{12}z^{4} = 16a^{8}y^{12}z^{4}$. Знак: чётная степень отрицательного коэффициента положительна, нечётная — отрицательна.

3. Степень результата: при умножении одночленов их степени складываются; при возведении одночлена в $n$-ю степень его степень увеличивается в $n$ раз.

4. Обратная задача. Чтобы записать одночлен в виде квадрата или куба одночлена, находим число, квадрат (куб) которого равен коэффициенту, а показатели делим на $2$ (на $3$): $64x^{6}y^{12} = (8x^{3}y^{6})^{2}$, . Одночлен с отрицательным коэффициентом не может быть квадратом одночлена.

Пример 1: $1\dfrac{1}{2}a^{2}b \cdot (-4ab^{3}) \cdot 0{,}5c = \left(\dfrac{3}{2} \cdot (-4) \cdot \dfrac{1}{2}\right) \cdot (a^{2}a)(bb^{3})c = -3a^{3}b^{4}c$.

Пример 2: $\left(\dfrac{1}{2}a^{2}\right)^{3} \cdot 8a = \dfrac{1}{8}a^{6} \cdot 8a = a^{7}$.

Пример 3: найдём значение $2a^{3}b \cdot 5ab^{2}$ при $a = -1$, $b=$. Сначала упростим: . Тогда .

В геометрии: площадь прямоугольника со сторонами $5x^{4}y^{7}$ и $7x^{2}y^{5}$ равна , а объём куба с ребром равен .

Частая ошибка: при умножении перемножать показатели (писать $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$; верно $a^{5}$) или складывать коэффициенты; при возведении в степень забывать про коэффициент (писать ; верно ); путать знаки и : , а .