2.3. Признаки делимости на 2, 5 и 10

Чётные числа — числа, которые делятся на $2$ без остатка: $2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots$ Нечётные числа — числа, которые на $2$ не делятся: $1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots$ Делится ли число на $2$, $5$, $10$, можно узнать, не выполняя деления, — только по его последней цифре.

Признаки делимости:

1. Число, последняя цифра которого $0, 2, 4, 6, 8$, делится на $2$ (чётное число). Если последняя цифра $1, 3, 5, 7, 9$, число нечётное.

2. Число, последняя цифра которого или , .

4. Число, которое делится и на $2$, и на $5$, делится на $10$ (его последней цифрой может быть только $0$). И наоборот, число, делящееся на $10$, делится и на $2$, и на $5$.

5. Правила чётности: чётное $+$ чётное $=$ чётное; нечётное $+$ нечётное $=$ чётное; чётное $+$ нечётное $=$ нечётное. Если хотя бы один множитель чётный, произведение чётное; если все множители нечётные, произведение нечётное.

Пример 1: $54\,270$ — последняя цифра $0$, поэтому число делится на $2$, на $5$ и на $10$. $30\,875$ — последняя цифра : делится на , но не делится ни на , ни на .

Пример 2: какую бы цифру мы ни поставили вместо звёздочки в числе $34*7$, оно не будет делиться на $5$: последняя цифра $7$ не меняется.

Пример 3: если к $1\,289$ прибавить хотя бы $1$, получится $1\,290$ — это число делится и на $5$, и на $10$.

Частая ошибка: смотреть на первую цифру числа ($5\,321$ начинается с $5$, но на $5$ не делится — важна только последняя цифра); думать, что любое число, делящееся на $5$, делится на $10$ ($35$ на $$ не делится).