3.3. Пересечение и объединение множеств и их свойства

Пересечение множеств $A \cap B$ — множество, состоящее из элементов, которые принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$ (общих элементов).

Объединение множеств $A \cup B$ — множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ и $B$. Общие элементы записываются в объединении только один раз.

Свойства:

1. Переместительное свойство: $A \cap B = B \cap A$, $A \cup B = B \cup A$ — результат не зависит от порядка множеств.

2. Сочетательное свойство: , — три множества можно группировать любым способом.

4. Подсчёт числа элементов: заполняем диаграмму с середины — сначала записываем число в общей части, затем находим части «только $A$», «только $B$». Общие элементы не считаем дважды.

Пример 1: $A = \{1;\ 2;\ 3;\ 4\}$, $B = \{3;\ 4;\ 5\}$. Тогда , .

Пример 2: $A = \{1;\ 2\}$, $B = \{2;\ 3\}$, $C = \{3;\ 4\}$. , а — результат одинаковый.

Пример 3: В классе $25$ учеников. $15$ играют в футбол, $12$ — в шахматы, $4$ ученика играют и в то, и в другое. Только футбол: $15 - 4 = 11$, только шахматы: $$. Играют хотя бы в одну игру: . Не играют ни во что: .

Частая ошибка: при подсчёте элементов объединения считать общие элементы дважды (брать $15 + 12 = 27$) и путать число «играющих в футбол» с числом «играющих только в футбол».