4.2. Зависимость между величинами при решении задач

Длина ($a$), ширина ($b$), высота ($c$) и объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда связаны между собой: зная три из них, можно найти четвёртую.

1. Объём — произведение трёх измерений. От перестановки множителей объём не меняется: $V = a \cdot b \cdot c = a \cdot c \cdot b = b \cdot c \cdot a = c \cdot a \cdot b$. Поэтому умножаем в удобном порядке: $25 \cdot 9 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 9 = 900$.

2. Площадь основания — произведение длины и ширины: $S = a \cdot b$. Тогда $V = S \cdot c$. Основание комнаты — пол, высота бассейна — его глубина.

3. Чтобы найти неизвестное измерение, объём делим на произведение двух других измерений: $c = V : (a \cdot b) = V : S$, $a = V : (b \cdot c)$, .

4. Измерения должны быть даны в одних единицах: $2$ дм $= 20$ см. Объём — в кубических единицах (см³, м³), площадь — в квадратных (см², м²).

5. Квадрат числа — произведение числа на себя: $9^2 = 9 \cdot 9 = 81$. — число, умноженное само на себя три раза: . В выражении сначала вычисляем квадраты и кубы: .

Пример 1: длина комнаты $7$ м, ширина $5$ м, высота $3$ м. Площадь пола: $7 \cdot 5 = 35$ м². Объём: $35 \cdot 3 = 105$ м³.

Пример 2: объём комнаты $45$ м³, площадь пола $15$ м². Высота: $45 : 15 = 3$ м.

Пример 3: $a = 9$ дм, $c = 2$ дм, $V = 126$ дм³. Ширина: $b = 126 : (9 \cdot 2) = 126 : 18 = 7$ дм.

Частая ошибка: искать неизвестное измерение вычитанием ($V - a - b$) — правильно делить; записывать объём в квадратных единицах, а площадь — в кубических; считать $8^3$ как $8 \cdot 3 = 24$.