1.10. Уравнение

Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Например: $7x - 4 = 52$. Здесь $x$ — неизвестное, $7x - 4$ — левая часть уравнения, $52$ — правая часть.

Корень уравнения — значение буквы, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение — найти все его корни или показать, что корней нет.

Правила нахождения неизвестных компонентов:

1. Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое: $x + 25 = 60 \Rightarrow x = 60 - 25 = 35$.

На рисунке уравнение $x + 25 = 60$ показано в виде весов в равновесии: грузы на чашах равны, поэтому $x = 60 - 25 = 35$.

2. Неизвестное уменьшаемое = разность + вычитаемое: $x - 18 = 40 \Rightarrow x = 40 + 18 = 58$.

3. Неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность: $70 - x = 26 \Rightarrow x = 70 - 26 = 44$.

В сложном уравнении сначала определяем действие, которое выполняется последним, и рассматриваем скобку или выражение целиком как неизвестное.

Пример 1: $(x - 9) \cdot 4 = 60$. Неизвестный множитель: $x - 9 = 60 : 4 = 15$. Неизвестное уменьшаемое: . — верное равенство.

Пример 2: $6x + 3x - 5 = 76$. Приводим подобные слагаемые: $9x - 5 = 76$, $9x = 81$, .

Решение текстовой задачи с помощью уравнения: 1) обозначаем неизвестное буквой $x$; 2) по условию составляем уравнение; 3) решаем уравнение; 4) отвечаем на вопрос задачи; 5) делаем проверку. Величины должны быть в одних единицах измерения (не смешивать м и см).

Пример 3: Младший брат на 6 лет младше старшего, вместе им 30 лет. Если младшему $x$ лет, то старшему $x + 6$: $x + x + 6 = 30$, $2x = 24$, . Младшему 12, старшему 18 лет.

На рисунке схема к Примеру 3: верхняя полоска — возраст младшего брата $x$, нижняя — возраст старшего $x + 6$, вместе $30$.

Частая ошибка: в уравнении $x - 18 = 40$ вычитать $40 - 18$. Неизвестно уменьшаемое, поэтому нужно прибавлять. Всегда проверяйте корень подстановкой в исходное уравнение.