1.12. Числовые последовательности

Числовая последовательность — числа, записанные одно за другим в определённом порядке. Например, $3;\ 5;\ 7;\ 9;\ 11;\ \ldots$ — последовательность нечётных чисел, начиная с $3$.

Числа, образующие последовательность, — её члены. У каждого члена есть свой номер (порядковый номер): в последовательности выше $3$ — первый член, $5$ — второй член, $7$ — третий член.

На рисунке под членами $3;\ 5;\ 7;\ 9;\ 11$ подписаны их обозначения $a_1, a_2, \ldots, a_5$; соседние члены отличаются на .

Буквенная запись: $a_1;\ a_2;\ a_3;\ \ldots;\ a_n;\ \ldots$ или кратко . Нижнее число — , он показывает номер члена: — пятый член, — -й член. Вместо используют и другие буквы (, , , …).

Как задаётся последовательность:

1. правилом — например, «каждый член на $4$ больше предыдущего»: $2;\ 6;\ 10;\ 14;\ \ldots$ или «каждый член равен сумме двух предыдущих»: $1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 8;\ \ldots$;

Последовательность, все члены которой одинаковы, — постоянная: $7;\ 7;\ 7;\ \ldots$

Как найти член по формуле: подставляем в формулу вместо $n$ номер члена и вычисляем значение выражения.

Пример 1: $x_n = (n + 3) \cdot 2$. Тогда $x_5 = (5 + 3) \cdot 2 = 16$, .

Пример 2: члены последовательности $c_n = n \cdot n + 1$: $c_1 = 2$, , , .

На рисунке член $c_n$ — это квадрат из $n \cdot n$ синих точек и одна жёлтая точка: $2$, $5$, $10$, .

Как найти закономерность: сначала смотрим на разности соседних членов (одинаковые ли?), если нет — во сколько раз растут члены, если нет — сравниваем член с его номером.

Пример 3: $\ldots;\ 26;\ 31;\ 36;\ \ldots$ — каждый член больше на $5$, поэтому перед $26$ стоит $21$.

Частая ошибка: путать номер члена и сам член. $a_3$ — «третий член», он не обязательно равен $3$. Кроме того, от $1$-го члена до $n$-го — $n - 1$ шаг, а не .